Bonjour,
j'aimerais montrer que pour un endomorphisme quelconque de L(E), on a :
||u|| = ||u*||
Cette norme est la norme subordonnée. Je suis donc revenu a une égalité de vecteurs en espérant passer au sup mais rien ne vient...
Avez vous une idée ?
Merci d'avance.
Salut !
qu'elle norme subordoné ?
la norme subrodoné à la norme euclidienne ?
||u|| = sup ||u(x)||/||x|| pour x différent de zero.
ca je sais merci... le probleme c'est quand tu ecrit : '||u(x)||/||x||', quelle est la norme ? parceque ca m'étonerait pas ml que sa soit indifférent...
Bah la norme euclidienne. Je pensais que c'etait pareil a cause de la dim finie mais apparemment pas dsl.
les normes sont juste équivalente en dimension pas identiques ^^ (genre la norme infinit et la norm euclidienne définisse peut etre la meme topologie mais n'ont pas du tous les meme propriété...)
j'ai une solution pour prouver ceci mais elle n'est pas vraiment élementaire... :
on montre d'abord que ||u||² = max Sp (u *u)
puis que Sp u *u = Sp *u u
ce sont deux résultat tres classique, tu sais les prouver ?
Le second vient du fait qu'une matrice a le meme spectre que sa transposée ?
Le premier, u u* est symétrique donc on diagonalise dans une bon de VEP. On développe, on minore puis on obtient le max avec un le vecteur propre associé a a valeur propre max ? Le seul truc qui bloque c'est que je fais pas le lien avec ||u||²... (comment faire "disparaitre l'étoile" en gros)
Ca y est : u*ou(x) | x = ||u(x)|| ²c'est ca ?
ouai c'est ca.
et pour Sp u *u = Sp *u u, le plus simple c'est encore de montrer que AB et BA ont le meme polynome caractéristique...
pour cela on utilise que si A ou B est inversible, alors AB et BA sont semblable (AB = B^-1 (BA) B )
et on conclue par densité des matrice inversible pour A et B quelconque
Juste un truc qui me vient à l'esprit : ne pourrait-on pas dire que l'application
V : L(E) --> L(E)
. u --> u*
conserve la norme "triple barre" (vu que l'on a clairement |||Ei,j|||=|||Ej,i|||) ???
non ca marche pas, la norme n'est pas linéaire.
En fait je me disais que la famille des collones formait une famille orthonormée au sens du produit scalaire : (u|v) = 1/4(|||u+v|||² - |||u-v|||²)....Dites moi si je délire ....
sauf que a ma connaissance ce n'est pas un produit scalaire, car la norme subrdoné n'est pas une norme euclidienne...
(ce que tu définit n'as aucune raison d'etre bi-linéaire )
Effectivement, désolé.
J'ai tendance à appliquer les résultats vus sur les espaces euclidiens un peu n'importe comment.
Merci.
Salut,
@Ksilver: Dès qu'on parle d'ajoint, on a un produit scalaire puisque l'adjoint est défini à partir du produit scalaire. Il n'y a donc pas d'ambiguité sur la norme à considérer.
@tous:
A mon sens, le plus facile est de montrer que
.
Une fois que tu as ça, c'est presque fini.
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rvz
