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centre du groupe linéaire



  1. #1
    Makay

    centre du groupe linéaire


    ------

    Soit E un K espace vectoriel où K est un corps.
    Montrer que le centre de GL(E) est l'ensemble des homothéties
    rappel : le centre de GL(E) est par définition l'ensemble des éléments f de GL(E) qui commutent avec tous les éléments de GL(E) (GL(E) ens. des automorphismes).

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Ledescat

    Re : centre du groupe linéaire

    Bonsoir.
    Citation Envoyé par Makay Voir le message
    Soit E un K espace vectoriel où K est un corps.
    Montrer que le centre de GL(E) est l'ensemble des homothéties
    rappel : le centre de GL(E) est par définition l'ensemble des éléments f de GL(E) qui commutent avec tous les éléments de GL(E) (GL(E) ens. des automorphismes).
    Une homotétie correspond à k*Id , donc pour la première implication tout va bien.
    Je réfléchis pour l'autre sens , le plus dur .
    Je te conseille d'utiliser les matrices élémentaires pour le montrer, car ça commute avec nimporte quelle matrice.
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    homotopie

    Re : centre du groupe linéaire

    Ca marche très bien ainsi :
    a) en considérant des applications du type f(x)=x+g(x)u où g est une forme linéaire et u un vecteur, montrer qu'un élément du centre laisse les droites globalement invariantes
    b) montrer qu'une application qui laisse toutes les droites gloablement invariantes sont des homothéties

  5. #4
    Makay

    Re : centre du groupe linéaire

    Alors ça c'est intelligent !
    Mais tu pourrais me dire comment t'as fait pour penser au a) stp ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    homotopie

    Re : centre du groupe linéaire

    Citation Envoyé par Makay Voir le message
    Alors ça c'est intelligent !
    Mais tu pourrais me dire comment t'as fait pour penser au a) stp ?
    De vieux souvenirs.

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