centre du groupe linéaire

[invitec57ba9ee]

Soit E un K espace vectoriel où K est un corps.
Montrer que le centre de GL(E) est l'ensemble des homothéties
rappel : le centre de GL(E) est par définition l'ensemble des éléments f de GL(E) qui commutent avec tous les éléments de GL(E) (GL(E) ens. des automorphismes).
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[invitec053041c]

Bonsoir.

Soit E un K espace vectoriel où K est un corps.
Montrer que le centre de GL(E) est l'ensemble des homothéties
rappel : le centre de GL(E) est par définition l'ensemble des éléments f de GL(E) qui commutent avec tous les éléments de GL(E) (GL(E) ens. des automorphismes).

Une homotétie correspond à k*Id , donc pour la première implication tout va bien.
Je réfléchis pour l'autre sens , le plus dur .
Je te conseille d'utiliser les matrices élémentaires pour le montrer, car ça commute avec nimporte quelle matrice.

[invite35452583]

Ca marche très bien ainsi :
a) en considérant des applications du type f(x)=x+g(x)u où g est une forme linéaire et u un vecteur, montrer qu'un élément du centre laisse les droites globalement invariantes
b) montrer qu'une application qui laisse toutes les droites gloablement invariantes sont des homothéties

[invitec57ba9ee]

Alors ça c'est intelligent !
Mais tu pourrais me dire comment t'as fait pour penser au a) stp ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Alors ça c'est intelligent !
Mais tu pourrais me dire comment t'as fait pour penser au a) stp ?

De vieux souvenirs.