[révisions][TS vers Prépa][Maths]densité de R\Q

[Romain-des-Bois]

Bonjour !

Dans la rubrique révisions, plusieurs personnes ont réclamé des exercices TS vers Sup.
J'en propose quelques uns, par ici

Celui-ci fait partie des classiques de début de Sup (en MPSI en tout cas) :
Je rappelle quelques éléments tout d'abord :

R est Archimédien. Ca veut simplement dire que pour tout réel x, il existe un entier n tel que x<n

Cet axiome permet de déduire la densité de Q dans R. Q est dense dans R veut simplement dire qu'entre deux réels, on peut trouver un rationnel (au moins !).

Sachant cela (et sachant que sqrt2 est irrationnel par exemple), on va prouver la densité de R\Q (ce sont les irrationnels).

Question : prouvez qu'entre deux réels x et y avec x<y, il existe a irrationnel tel que x<a<y

Aide 1

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Considérer b, rationnel, tel que x<b<y

Aide 2

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Partant de ce rationnel et d'un irrationnel connu (sqrt2), construire un irrationnel vérifiant la condition (à l'aide de l'axiome d'Archimède).

Bon courage !


Romain
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[invitec053041c]

Bonjour.
Je ne sais pas si ce que j'ai fait est juste, mais je n'ai pas procédé exactement comme tu le conseilles.

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On choisit r1,r2 deux rationnels compris entre x et y.

On prend est compris entre r1 et r2 (pondérations>0) d'où:



Si a=p/q (p,q entiers)

Alors

Ce qui est faux, donc a est irrationnel,compris entre r1 et r2, donc compris entre x et y.

[Romain-des-Bois]

Salut,

c'est juste, et l'esprit est le même que ce que je propose : construire l'irrationnel à partir du rationnel (ou des deux rationnels pour toi), mais tu utilises une hypothèse plus forte : tu utilises l'existence de deux rationnels entre x et y (mais bon ça revient au même).



Romain

EDIT : si la modération veut bien déplacer ce message vers la bonne rubrique

[invitec053041c]

tu utilises l'existence de deux rationnels entre x et y (mais bon ça revient au même).

Oui mais la densité t'assure d'en trouver une infinité...
Tu peux trouver r1 tq x<r1<y et comme r1 est réel, tu peux trouver r2 tq r1<r2<y
M'enfin,comme tu dis ça revient au même. D'ailleurs, je n'ai pas utilisé IR est archimédien, mais ça doit être caché quelque part!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Romain-des-Bois]

Oui, en avoir un, ça assure d'en avoir une infinité (il suffit de recommencer le raisonnement )

On utilise le fait que R est archimédien pour démontrer la densité de Q dans R, donc c'est effectivement bien caché.


Je te donne ma façon de faire : (plus simple à mon avis ! )

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on considère b rationnel avec x<b<y
on prend n, entier, tel que n> sqrt2/(y-b) (ici, on utilise le caractère archimédien de R)

alors a=b+sqrt2/n vérifie :
a est irrationnel (évident)
a>x évident aussi
a<y car a=b+sqrt2/n < b+ y - b = y

et c'est fini !

Romain

[invitefc60305c]

Salut !
Sympa l'exo

Voila, j'ai fait un truc tout bête :

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Supposons x < b < y avec b rationnel.
Supposons x et y tel que x < sqrt2 < y
On additionne membre à membre.
2x < b + sqrt2 < 2y
x < b/2 + (sqrt2)/2 < y
On pose a = b/2 + (sqrt2)/2
Puisque (sqrt2)/2 irrationnel, a irrationnel.
Finalement x < a < y

[invitec053041c]

Supposons x et y tel que x < sqrt2 < y

On veut montrer :
R/Q


Pour tous x,y réels...
Et là tu prends des (x,y) particuliers .



edit: comment faire pour que ce qu'on écrit en latex ne soit pas surélevé?

[Médiat]

edit: comment faire pour que ce qu'on écrit en latex ne soit pas surélevé?

Je n'ai trouvé qu'une solution : écrire tout en latex ou rien en latex sur une même ligne

[invitec053041c]

Je n'ai trouvé qu'une solution : écrire tout en latex ou rien en latex sur une même ligne

D'accord..., le problème est que je ne sais pas si on peut faire des espaces en latex.

[Romain-des-Bois]

Salut !
Sympa l'exo

Voila, j'ai fait un truc tout bête :

Supposons x < b < y avec b rationnel.
Supposons x et y tel que x < sqrt2 < y
On additionne membre à membre.
2x < b + sqrt2 < 2y
x < b/2 + (sqrt2)/2 < y
On pose a = b/2 + (sqrt2)/2
Puisque (sqrt2)/2 irrationnel, a irrationnel.
Finalement x < a < y

Ce que tu fais ne marche pas !
Dans le cas particulier où x < sqrt2 < y, ça marche, mais c'était évident puisqu'on sait que sqrt2 est irrationnel !

ce qu'on veut c'est construire pour tout couple (x;y) un irrationnel a tel que x < a < y (la construction de ce a dépend bien sûr de x et y).


Romain

[invitefc60305c]

Je recommence alors !

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Supposons x < b < y avec x,y réels et b rationnel.
Puisque R archimédien, on a sqrt2 < n avec n entier.

x < b <=> x + sqrt2 < b + sqrt2

Par ailleurs,
b < y
sqrt2 < n
Donc b + sqrt2 < y + n

On a par transitivité : x + sqrt2 < b + sqrt2 < y + n
On pose X = x + sqrt2 ; Y = y + n et A = b + sqrt2
X et R sont réels, et A irrationnel.
Finalement X < A < Y

[Médiat]

D'accord..., le problème est que je ne sais pas si on peut faire des espaces en latex.

[Romain-des-Bois]

@ anonymus :
tu as construit X et Y (réels) avec a irrationnel X<A<Y, mais moi je te demande pas de construire les réels X et Y !
Je te donne x et y, construis a tel que x<a<y (x et y sont fixes)

Tes idées sont pas mal, mais il te faut fignoler tout ça pour répondre vraiment à la question.



Romain

[invitec053041c]

anonymus, quand on veut montrer : "pour tout x dans E, la propriété P(x) est vraie" ,
il faut partir de "soit x un élément quelconque de E.... alors P(x) est vraie " .
Et comme te dit romain, x et y sont fixés une bonne fois pour toute.