J'aurais tendance à penser la même chose mais si l'on identifie les bords du carré selon différentes façons on obtient un tore ou une bouteille de Klein il me semble, donc des surfaces compactes et sans bords comme la sphère.Envoyé par Rincevent
Enfin si je ne dis pas trop de conneries.
Les conditions aux limites périodiques me semblent intervenir quand on passe à une définition sur le revêtement universel mais là je crois que je déconne gravement!
finalement un commentaire rapide: ton problème de boule me paraît pas très clair car si elle a un rayon, c'est qu'elle est plongée dans un espace de dimension plus grand et que tu es en train de "paver" cet espace avec des boules. Ou alors tu parles de rayon pour désigner la courbure scalaire de la 3-surface, ce qui n'est pas pareil car y'a pas de bord...
et pour ce qui est de la faisabilité du pavage, j'en sais rien, c'est une question mathématique qui sort de mes compétences (mais rejoint ce qu'a fait Luminet à qui tu peux toujours poser la question). Si tu fais du "plongement non-périodique", ça rentre dans les cosmologies branaires et là t'as plein de bôs papiers à lire si tu veux des détails sur la géométrie des trucs en 4+1 (regarde la biblio de David Langlois qui est quelqu'un de très clair dans ses écrits).
ouais, c'est complètement très clair pour moi non plus car je suis évidemment d'accord qu'en faisant ça on introduit au choix soit de la courbure soit de la torsion...
mais naïvement, je dirais que c'est p'têt lié à une histoire d'atlas maximal ou pas: dans le cas du tore tu peux trouver un système de coordonnées valable sur l'ensemble du truc. Pas dans le cas du carré compactifié, ce qui est sûrement lié aux effets de bords mentionnés par Sylvestre.
mon intuition me dit que la solution doit pas être très loin de ça:
dans tous les cas on introduit au moins de la courbure, mais celle-ci peut être "répartie sur tout le volume" (cas du tore) ou bien uniquement sur des "défauts topologiques" (les arêtes dans le cube compactifié). Et la même chose pour la torsion... c'est pourquoi on peut dans un cas trouver une métrique locale plate (cube) mais pas dans l'autre (tore), en notant toutefois que la métrique plate n'est pas valable près des singularités du cube.
Non non, pas plus que d'habitudeLes conditions aux limites périodiques me semblent intervenir quand on passe à une définition sur le revêtement universel mais là je crois que je déconne gravement!
C'est-à-dire : il me semble que tu as raison. Dans un espace multiconnexe, il faut tenir compte de l'histoire passée (du chemin parcouru) ce qui complique les choses, et en particulier il ne suffit pas d'imposer des CL (fussent-elles périodiques). Il est nécessaire de passer au revêtement universel (qui est simplement connexe, au prix d'avoir plusieurs "copies" du même point), on résout simplement les équations ordinaires (comme de coutume) en imposant les CLP, puis on fait l'identification des points selon le groupe d'homologie.
Ok,cela confirme ce que je pensais pour le cube,merci.
Je crois qu'effectivement Luminet doit avoir des réponses trés claires sur tout ça et que deep-turtle devrait lui poser ses questions.
Une idée est de considérer S3 paramétrisé par trois angles a,b,c.
x=sin(a)sin(b)sin(c)
y=sin(a)sin(b)cos(c)
z=sin(a)cos(b)
t=cos(a)
a et b varient entre 0 et pi.
c varie entre 0 et 2pi.
Comme la boule dont on parle est le quotient de S3 par l'application antipodale, on a une paramétrisation de cette boule en restreignant l'angle a entre 0 et pi/2. Les conditions de bords sont alors que f(pi/2,b,c)=f(pi/2,pi-b,c+pi) pour tout b,c.
C'est ma façon de poser le problème qui n'est pas claire et pour cause, je ne maîtrise pas tous les éléments... La boule de départ a un rayon car elle est effectivement là dans un espace euclidien. Je veux identifier les points opposés de la sphère qui la limite, mais pas nécessairement plonger l'espace obtenu dans autre chose ! Je ne veux pas non plus construire une hypersphère comme tu sembles proposer Sylvestre. Je ne veux pas non plus paver l'espace 3D avec des boules.finalement un commentaire rapide: ton problème de boule me paraît pas très clair car si elle a un rayon, c'est qu'elle est plongée dans un espace de dimension plus grand et que tu es en train de "paver" cet espace avec des boules. Ou alors tu parles de rayon pour désigner la courbure scalaire de la 3-surface, ce qui n'est pas pareil car y'a pas de bord...
Je m'intéresse juste à une portion de l'espace 3D euclidien dans lequel j'ai identifié certains points 1 à 1 et je me demande si mon identification introduit de la courbure sur la surface que j'ai utilisée pour faire l'identification. J'ai l'intuition (?) que si je fais ça avec un patatoïde ça introduira de la courbure, si je fais ça avec un cube non, et avec la sphère je ne sais pas trop...
Je pourrais effectivement demander à Luminet mais il est parti maintenant... Je vais continuer à réfléchir... Je vais disparaître pendant deux semaines, une bonne occasion de réfléchir au calme... Je vous tiens au courant si j'avance !
Merci à tous en tout cas pour votre aide, j'ai les idées plus claires maintenant !
Salut deep,je crois vraiment que la réponse à tes questions se trouve dans le report de Luminet Cosmic Topology que j'ai cité plus bas donc si tes deux semaines te le permettent lis en quelques passages.
Sur le site de Luminet il y a ce trés impressionnant article sur le calcul des modes propres de l'opérateur de Laplace sur des espaces à la Luminet/Uzan/Lachieze_Rey.
http://fr.arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/0205/0205009.pdf
Bonne nuit
Ce que je veux dire c'est qu'il n'est pas possible de mettre une metrique euclidienne sur cette boule. Cela ne fonctionnera pas sur les bords. Par contre, j'ai expliqué comment y mettre une métrique constante positive en le voyant comme un quotient de la sphère S3. Si tu veux absolument le voir comme un morceau euclidien tu es obligé de rendre la métrique discontinue au bord, c'est ce que je voulais expliquer avec mon histoire de carré et d'octogone.
Ahhhh... OK, ça répond exactement à la question... Tu as une réference pour ça ou c'est vraiment évident que le même type de problème se pose pour la sphère que pour l'octogone ?Ce que je veux dire c'est qu'il n'est pas possible de mettre une metrique euclidienne sur cette boule. Cela ne fonctionnera pas sur les bords.
Merci en tout cas.
Ce n'est pas vraiment évident, mais tu peux le voir par exemple, en ne considérant qu'un disque de dimension 2 dans cette boule. Ses bords sont identifiés et donc l'espace. Comme il est de dimension 2 (c'est RP(2)), on peut appliquer Gauss-Bonnet et trouver que la courbure sectionnelle doit être positive puisque la caractéristique d'Euler de RP(2) est 2. J'espère ne pas avoir dit de bêtise.
J'ai oublié d'ajouter dans mon message précédent que c'est bien le même type de problème qu'avec le carré et l'octogone, mais que cette fois, c'est plus "lisse".
Bonjour à tous,
Excusez-moi, mais je ne comprends pas pourquoi en identifiant les bords d'un cube, on n'introduit pas de courbure.
Prenons la 2d (où la classification est plus simple): si j'identifie les bords d'un carré, j'obtiens soit un cylindre, un ruban de Moebius, un tore, une bouteille de Klein ou l'espace projectif réel. Toutes ces variétés sont lisses et les trois dernières sont sans bord. Mais à part le cylindre, elles ont une courbure totale (=de Gauss) non-nulle (enfin, il me semble).
Et puis, vous entendez quoi par "localement plat"?
Pour le cube, on n'introduit pas de courbure, car le cube est un quotient de R3 qui est plat et hérite donc de cette métrique plate. Pour le tore et la bouteille de Klein, c'est aussi possible. Mais par contre cela ne marche pas pour le plan projectif. En effet, comme sa caractéristique d'Euler est 1, il ne peut pas y avoir de courbure partout plate.
[QUOTE=martini_bird]Et puis, vous entendez quoi par "localement plat"?[\QUOTE]
Par localement plat, je veux dire qu'autour d'un point x, il existe un ouvert le contenant et une isométrie cet ouvert vers un ouvert de Rn.
Merci!
Je crois que je vais reprendre mes bouquins de géométrie...car je comprends pas grand chose!
Si j'ai bien compris, la courbure dépend de la métrique?!
Oui, la courbure est une notion complètement définie par la métrique. Un théorème important concernant la courbure globale et locale est le théorème de Gauss-Bonnet dont tu pourras trouver l'énoncer facilement grâce à Google.Merci!
Je crois que je vais reprendre mes bouquins de géométrie...
Si j'ai bien compris, la courbure dépend de la métrique?!
Non, c'est assez trompeur car on a tendance à penser à ces surfaces (prenons le tore par exemple) en les imaginant plongées dans un espace de dimension plu grande, ici le tore dans l'espace 3D. Et en effet, si tu coonsidère la surface d'un tore (un doughnut) dans un espace 3D, elle est courbée. Par contre si tu identifies les côtés opposés d'un carré, sans cherche à faire le collage avec du scotch en 3D, alors le truc que tu obtiens est aussi plat que la feuille de départ. Moi ça m'aide de penser au tore comme un écran de Pac-Man, tu rentres par un côté, tu sors par l'autre, mais ton écran est plat !Excusez-moi, mais je ne comprends pas pourquoi en identifiant les bords d'un cube, on n'introduit pas de courbure.
Prenons la 2d (...): si j'identifie les bords d'un carré, j'obtiens soit un cylindre, un ruban de Moebius, un tore, une bouteille de Klein ou l'espace projectif réel. Toutes ces variétés sont lisses et les trois dernières sont sans bord. Mais à part le cylindre, elles ont une courbure totale (=de Gauss) non-nulle (enfin, il me semble).
Ok merci, je crois que c'est assez clair dans ma tête maintenant. En particulier une des remarques a fait tilt pour moi : considérer un disque dont le bord est un cercle dessiné sur la sphère que j'utilise pour l'identification... Si j'imagine que ce cercle est aussi présent de l'autre côté de la sphère, et que j'essaie d'imaginer quelqu'un qui se balade autour de ce disque en se demandant si c'est euclidien ou pas, ça me semble évident maintenant que ça ne l'est pas...
Cette conversation m'a aussi ouvert les yeux sur des choses que je croyais avoir comprises et finalement non, merci à tous !
