Isomorphe

[invite4e9186a9]

Bonjour, pourquoi Z^n et Z^m ne sont il pas isomorphes quand m différent de n?
merci
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[Médiat]

Bonjour, pourquoi Z^n et Z^m ne sont il pas isomorphes quand m différent de n?
merci

Si tu ne précises aucune structure sur tes ensembles, il est impossible de répondre :
Sans aucune structure ils sont de même cardinal, donc isomorphes en tant qu'ensemble
Avec la multiplication coordonnées par coordonnées Z n'a pas de diviseur de 0 alors que Z² en a, donc (Z, x) et (Z², x) ne sont pas isomorphes.

[invite986312212]

Médiat a raison, il faut préciser un peu. Une manière très générale de montrer que deux objets ne sont pas isomorphes, c'est de définir un invariant sur cette catégorie d'objets et de montrer que les invariants diffèrent. Pour les espaces vectoriels sur un même corps, c'est tout simplement la dimension.

Pour ce qui est de Z^m e Z^n vus comme anneaux, il faut regarder les idéaux. S'il existe un isomorphisme entre deux anneaux, il induit une bijection croissante entre les ensembles d'idéaux des deux anneaux. Puisque la primalité des idéaux ne dépend que de l'inclusion, les idéaux premiers de Z^m seraient en bijection avec les idéaux premiers de Z^n. Pour simplifier, prenons m=1 et n=2.
Dans Z un idéal premier n'est inclus dans aucun autre idéal propre. Mais l'idéal (p,0)={(kp,0)} de Z^2 avec p premier est inclus dans l'idéal (p,q)={kp,lq} de Z^2, avec p,q premiers.