l'opérateur "d rond" est-il vraiment un opérateur ?

[princessleila]

Bonjour à tous,

Ca fait une heure que je google à tout va, et je ne trouve pas la réponse à ma question.

l'opérateur différentiel "d" peut s'employer aussi bien de la façon :
df/dx = A (avec f = f(x) par exemple)
que de la façon :
df = A*dx
et le terme "dy" "tout seul" (isolé) a un sens.

Pourriez-vous me confirmer que cela n'est pas le cas pour l'"opérateur" dérivée partielle "d rond" :
d_rond_f/d_rond_x = A a du sens, (avec f = f(x,y) par exemple)
alors que
d_rond_f = A*d_rond_x est incorrect
car "d_rond_f" seul (isolé) n'a pas de sens.

Du coup, peut-on dire que parler d'opérateur "d_rond" est un abus de langage ?

Merci d'avance
-----

[invite78df7f0b]

Effectivement, ça n'a pas de sens pour le d rond, m'enfin en mathématiques je pense que df=A*dx n'a pas de sens non plus, il faut introduire els formes différentielles, c'est pas facile de rendre ce genre de choses rigoureux mathématiquement. En physique, on s'en fout un peu, les d ronds qui deviennent d droit toussa toussa

[Gwyddon]

En physique on ne s'en fout pas, contrairement à ce que tu sembles penser...

Pour princessleila, ta définition d'opérateur différentiel est un peu floue

En effet, l'écriture que tu emploies sur le drond n'a pas de sens, ce qui n'empêche pas que l'on peut parler d'opéreur : l'application qui à toute fonction de deux variables réelles par exemple associe la dérivée par rapport à la première variable est bien un opérateur linéaire de l'ensemble des fonctions de deux variables réelles dans lui-même, avec les lois habituelles sur cet ensemble envisagé comme espace vectoriel.

[invite78df7f0b]

En physique on ne s'en fout pas, contrairement à ce que tu sembles penser...

Bah pas mal de choses que j'ai vu jusque maintenant (L3) en physique sont plutôt crades d'un point de vue mathématique, et je considère pas que j'ai eu des mauvais profs ou des mauvais cours, c'est juste comme ça qu'on fait parce que ça marche et que la justification de ce qu'on écrit est beaucoup trop compliquée mathématiquement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[princessleila]

La définition que tu donnes : "l'application qui à toute fonction de deux variables réelles par exemple associe la dérivée par rapport à la première variable [...]" est bien ce que j'entends par opérateur (en légèrement mieux expliqué ), mais l'écriture "d_rond_x = ...." ne permet pas de savoir par rapport à quelle variable on dérive.

Pour respecter cette definition d'un opérateur, il faudrait écrire "d_rond_1_x" qui voudrait par exemple dire "dérivée partielle par rapport à la première variable.

En gros, "d_rond" ne peut s'employer que sous la forme "d_rond_fonction / d_rond_variable", ce qui voudrait dire que "d_rond" seul n'est pas un opérateur...?

Je crois qu'une autre notation acceptée est (avec par exemple : y = f(x1,x2,x3)) :
"d_rond_x1_y" où x1 est en indice et indique la variable concernée. Dans ce cas, je suis d'accord pour parler d'opérateur, mais pas dans l'autre

[invite78df7f0b]

d rond tout seul ça veut rien dire, c'est pas défini, donc y a même pas à se demander ce que c'est je pense.

[Gwyddon]

Je suis totalement d'accord avec le dernier message de GaryO.

Bah pas mal de choses que j'ai vu jusque maintenant (L3) en physique sont plutôt crades d'un point de vue mathématique, et je considère pas que j'ai eu des mauvais profs ou des mauvais cours, c'est juste comme ça qu'on fait parce que ça marche et que la justification de ce qu'on écrit est beaucoup trop compliquée mathématiquement.

Mais la justification existe quelque part... Et la distinction entre des choses proches mais différentes peut avoir un impact sur la physique, très important. Par exemple si tu te mets à confondre les différentielles avec les dérivées partielles, tu vas droit dans le mur en hydro

Un autre exemple où la rigueur mathématique a des conséquences physiques : en physique statistique l'inversion de limites n'est pas à faire à la légère, sinon tu loupes des aimantations spontanées dans le modèle d'Ising (cf papier de Yang et Lee, 1954)

[princessleila]

Bon, pour clore ce topic,

quelqu'un pourrait-il me confirmer que

-l'écriture dy/dx est bien une fraction (pour une fonction y(x), cela représente le rapport de l'accroissement dy lors d'un déplacement dx)

-l'écriture d_rond_y / d_rond_x n'est pas une fraction mais une convention de notation

merci

[princessleila]

...nan rien...

[invite986312212]

1234567890

[invite78df7f0b]

Bon, pour clore ce topic,

quelqu'un pourrait-il me confirmer que

-l'écriture dy/dx est bien une fraction (pour une fonction y(x), cela représente le rapport de l'accroissement dy lors d'un déplacement dx)

-l'écriture d_rond_y / d_rond_x n'est pas une fraction mais une convention de notation

merci

Même le premier n'est pas une fraction au sens mathématique, c'est une notation. Après, physiquement tu peux voir ça comme un rapport d'accroissement infinitésimaux, mais mathématiquement c'est juste une notation.

[princessleila]

Pourtant, lors de résolution d'équations différentielles, on utilise mutliplie et on divise couremment par dx ou dy :

y + dy/dx = 0

1 => y = - dy/dx
2 => y.dx = -dy/dx * dx = -dy (multiplication membre à membre par dx)
3 => dx = -dy/y = -d(ln(y)) (division membre à membre par y)
3 => x = -ln(y) + A
4 => y = exp(x-A) = A'.exp(-x)

effectuant de telles opération (division et multiplication) avec les quantités dx et dy, je ne vois pas quelle est la différence entre la notation "dy/dx" et la fraction "dx divisé par dy"...

ligne 2 on simplifie bien dx/dx par 1...

Où est-ce que je me trompe ?

[Gwyddon]

Une justification mathématique possible en tant que fraction est la suivante :

on a df_a (h) = f'(a) dx(h) qui est la différentielle de f en a pour une fonction de une variable, et dx(h) est la valeur de la forme linéaire dx en h, dx étant juste la base de IR^* dual de IR.

L'expression de dx est simple : dx(h)=h

Donc df_a (1) = f'(a) dx(1). Donc f'(a) = df_a(1)/dx(1) ... D'où l'origine de cette notation.

[invite78df7f0b]

Pourtant, lors de résolution d'équations différentielles, on utilise mutliplie et on divise couremment par dx ou dy :

y + dy/dx = 0

1 => y = - dy/dx
2 => y.dx = -dy/dx * dx = -dy (multiplication membre à membre par dx)
3 => dx = -dy/y = -d(ln(y)) (division membre à membre par y)
3 => x = -ln(y) + A
4 => y = exp(x-A) = A'.exp(-x)

effectuant de telles opération (division et multiplication) avec les quantités dx et dy, je ne vois pas quelle est la différence entre la notation "dy/dx" et la fraction "dx divisé par dy"...

ligne 2 on simplifie bien dx/dx par 1...

Où est-ce que je me trompe ?

Cette méthode est très "physicienne", elle n'est pas correcte d'un point de vue mathématique simplement parce que les choses que tu écris ne sont pas définies mathématiquement parlant.