produit direct

[invite016f8ef9]

Bonjour,
Je dois faire un exercice d'algèbre et j'ai quelques difficultés :
Voici l'énoncé:
Soient H et K 2ss-gpes d'un groupe G.On suppose K distingué dans G
1.Déterminer le morphisme f:H->Aut(K) tel que g:K *f H->G défini par g(k,h)=kh soit un morphisme. (g est une application qui va de K produit semi direct par f avec H dans G)
Montrer que Ker(g) est isomorphe à K inter H.
J'ai réussi à trouver f: f=hkh-1, mais je ne sais pas comment montrer que ker g est isomorphe a K inter H.

2. Montrer que si H est distingué dans G, KH=G et H inter K={e}, alors pour tout h de H et pour tout k de K: hk=kh et G est isomorphe à K*H.

3. En déduire que si G est un groupe fini, H et K 2 sous-groupes distingués de G tels que card(H)*card(K)=card(G) et si : H inter K={e} ou HK=G alors G est isomorphe à K*H.
Je ne vois pas du tout comment procéder pour la question 3.
Merci pour votre aide
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[invite35452583]

1) Il est facile de caractériser les éléments du noyau de g. Il est facile de trouver une bijection de K inter h dans ce noyau (il y a deux choix possibles). Reste que cette bijection doit être un morphisme pour être un isomorphisme (c'est la moindre des choses) or l'une des deux possibilités en ait bien une.

2) Il y a une chose d'évidente vu les hypothèses c'est que g: K>_fxH->G est un isomorphisme. Maintenant, il faut montrer que kh=hk pour tous k dans k et h dans h, or ceci est équivalent à ce que les commutateurs [k,h]=khk^-1h^-1 soit égaux à e. Indice : K inter H est réduit à {e}. il reste plus qu'à contaster que f=Id_K

3) On a g: K>_fxH->G est un mophisme de noyau isomorphe de cardinal=cardinal( K inter H ), le groupe G>_fxH est de cardinal card(K)xcard(H), l'image est de cardinal cardinal(KH). Il ne "reste plus qu'à" exploiter ceci pour montrer que K inter H={e} équivaut à KH=G pour se retrouver dans la situation du 2).

[invite016f8ef9]

Merci, j'ai bien compris les questions 1 et 2, je comprends ce qu'il faut faire dans la 3, mais je ne vois pas comment me servir de l'hypohese faite sur les cardinaux

[invite35452583]

Merci, j'ai bien compris les questions 1 et 2, je comprends ce qu'il faut faire dans la 3, mais je ne vois pas comment me servir de l'hypohese faite sur les cardinaux

J'espère que tu connais le théorème suivant : pour un morphisme de groupe a : A->B avec A fini on a card(A)=card(Im(a)).card(ker(a )).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite016f8ef9]

J'ai réfléchi à cette propriété, mais je ne l'ai jamais vue pour le moment

[invite016f8ef9]

Autant pour moi, ce ne serait pas Lagrange par hasard, je n'avais pas fait le lien. on doit juste montrer que G/ker est isomorphe à im par le théorème d'isomorphie et on obtient le résultat si j'ai tout compris.
Ensuite on a card(g)=card(h).card(K), ker G est isomorphe à H inter K, donc card(ker G)=card(H inter K), on montre que im G est isomorphe à HK d'où card(HK)=card(im G), alors:
si K inter H =e, alors card(K inter H)=1
card G=card(im G).card(ker G)=card(im G)=card KH donc KH=G

si KH=G, card(g)=card(KH)=card(im G).card(ker G) or card(im G)=card(KH), alors card (ker G)=1 don ker G=e donc H inter K=e
Est-ce que ce raisonnement se tient?

[invite35452583]

Est-ce que ce raisonnement se tient?

Ca me semble du tout bon.

[invite016f8ef9]

Bon ou pas du tout bon? Je pense "pas du tout bon"...
J'ai essayé de rédigé correctement sur une feuille mais j'arrive à un problème, j'ai que g:->K*f H->G, mais pour appliquer le théorème d'isomorphie: g induit un isomorphisme de G/ker dans im, il faut que g parte de G? C'est le problème majeur que je vois.
Et je n'ai pas utilisé l'hypothèse card( G)=card( H).card(K)