Produit semi direct de groupe Dn = C2xCn

[invite82aa4b0a]

Bonjours,

je ne comprend pas comment calculer le produit semidirect de 2 groupes,

par exemple
C2 {1,g} avec g²=1
et C3 {1,h,h²} avec h³ = 1

quelqu'un sait m'expliquer comment les calculers???
et comment trouver la table de mulciplication de C2x(semi direct)C3

merci d'avance
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[martini_bird]

Salut,

un produit semi-direct n'a pas de sens en général: c'est toujours relativement à un morphisme de G dans Aut(H), puisque par définition le produit semi-direct de G et H relativement à est l'ensemble des couples (g, h) muni de la loi (g, h).(g', h')=(, h.h').

Cordialement.

EDIT: à moins qu'il existe un produit semi-direct canonique, mais je ne connais pas...

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je ne pense pas qu'il y ait beaucoup d'automorhismes de C3. En fait, il n'y en a que deux, celui qui envoie h sur h (l'identité) et celui qui envoieh sur h^2.

En fait, si tu regardes tous les groupes d'ordre pq, avec p et q premiers, p < q, les théorèmes de Sylow donne un sous groupe d'ordre q distingué, et donc le groupe a une structure de produit semi direct.
Après, l'automorphisme est forcément trivial si p divise q-1. Sinon, l'automorphisme envoie un générateur sur un générateur.

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rvz

[invite82aa4b0a]

je suis d'accord avec ceci :
est l'ensemble des couples (g, h) muni de la loi (g, h).(g', h')=(, h.h').

et je suis aussi d'accord pour dire que le seul automorphisme non trivial est A(x)=x'

e->e
h->h²
h²->h

des lors comment est ce que je fais pour calculer en pratique???

(g, h).(g', h')=
(g,h)(g,h²) = (g²,h A(h²)) = (1,h²) est ce correct???

Dans le cas des Dn comment puis je savoir quel est l'automorphisme utilisé???
pour D2 et D3 ils sont unique... mais pour les autres?

encore merci

EDIT : A est indépendant de g, est ce normal?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6de5f0ac]

Salut,

un produit semi-direct n'a pas de sens en général: c'est toujours relativement à un morphisme de G dans Aut(H), puisque par définition le produit semi-direct de G et H relativement à est l'ensemble des couples (g, h) muni de la loi (g, h).(g', h')=(, h.h').

Cordialement.

EDIT: à moins qu'il existe un produit semi-direct canonique, mais je ne connais pas...

Exact en principe. Mais, si rien n'est précisé, il s'agit (normalement!) de la construction suivante:

Un groupe est produit semi-direct de deux de ses sous-groupe et si:
*
(1) , autrement dit tout s'écrit de manière unique avec ;
(2) est distingué dans G ()

On écrit alors .

Le morphisme de dans est implicitment la conjugaison, c'est-à-dire .

-- françois

EDIT: et zutre, les symboles tordus de LaTeX ne passent pas. Désolé.

[invite82aa4b0a]

fderwelt, j'ai effectivement plusieur fois trouvé ce que tu as écris dans la littérature, mais je ne comprend pas comment les calculer en pratique.

(g, h).(g', h')=

donc si je veux calculer l'élément
(g,h).(g,h) avec g²=1 et h³=1

(g,h).(g,h) =

que vaut ...????
comment le calculer?
comment savoir que vaut g'' et h''
si (g,h).(g,h) = (g'',h'')

merci d'avance

[invite6de5f0ac]

Salut,

J'ai vérifié dans la littérature parce que de mémoire, je me serais planté.

On veut donc construire le produit semi-direct , où est distingué dans . Il est très important de ne pas se gourer sur lequel des deux groupes est distingué...

est le groupe avec .
est le groupe avec .

Il nous faut un morphisme de dans , et cet automorphisme doit vérifier (sinon ce ne serait pas un morphisme!). Le seul choix non trivial est donc .

On pose alors, pour et :

et là ça colle enfin. Je crois. Si je me suis pas encore planté en recopiant .

Voilà voilà.

-- françois

EDIT: dans la dernière formule il y a un qui s'est incrusté, je ne sais pas pourquoi. ne pas en tenir compte.

[invite6de5f0ac]

Re-salut!

En relisant mon dernier post, je m'aperçois qu'il n'est pas complètement clair. Alors je reprends...

On part du groupe avec; et du groupe avec .

On se donne un morphisme , avec , qui doit vérifier , et .

Il n'y a qu'à choisir . Le choix donne le produit direct , ce qui n'est pas le but recherché. Le choix est celui qui nous intéresse, et c'est le seul autre possible.

On a alors (tout élément de s'écrivant avec ):




Et voilà.

A bientôt,

-- françois

[invite82aa4b0a]

un tout grand merci a toi francois
ca me semble assez clair