Besoin d'aide en analyse

[invitecbbd739b]

Bonjour a tous!

Je vous présente mon problème : on a une fonction mesurable et additive. J'ai montré qu'il existait M>0 tel que l'ensemble soit de mesure strictement positive.

Il faut que je montre maintenant que est un voisinage de 0 dans . Bon, alors déjà je sais que 0=0+0 appartient à . Maintenant je veux montrer que . Comme , j'essaye de montrer que .
Mais j'y arrive pas. Je sais pas si c'est la bonne méthode...

J'ai vraiment besoin d'aide sur cet exercice ca fait 3 jours que je galère dessus!
Alors si vous pensez avoir une idée, même si vous êtes pas trop sûr, hésitez pas à répondre!
Merci d'avance
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[invite4ef352d8]

Salut !


par "additive" tu veux dire que f(a+b)=f(a)+f(b) ?

dans ce cas tu sais qui si x est dans Am, alors -x est dans Am. à partir de la c'est une astuce assez classique (ca veut dire retiens la, elle te reservira surement ^^ ) :

pose h: l'indicatrice de Am. le produit de convolution f=h*h est une fonction continu de R^n->R.

f(0)=intégral de h(x)*h(-x)
= intégral de h(x)² (car h(x)=h(-x))
= intégral de h(x) (car h(x)=0 ou 1)
=mesure de Am >0

f(0) est donc strictement positive et f est continu, donc il existe un voisinage O de 0 telle que f est strictement positive sur O.

soit x appartenant a O :
f(x)= intégral de h(t)h(t-x) dx >0
donc il existe telle que h(t)h(t-x)=1; ie il existe t dans Am, telle que t-x=a soit aussi dans Am.
alors x=t-a=t+(-a) est dans Am+Am.

O est donc inclu dans Am+Am

[invitecbbd739b]

Je te remercie beaucoup Ksilver! Honnêtement j'y aurai jamais pensé! Merci...

[invite4ef352d8]

Je vais t'avouer que moi non plus j'aurait jammais pensé à introduire la convolution si je l'avait pas déja rencontré au moins une fois avant ^^ (c'est pour ca que je dis que c'est une astuce qu'il peut-etre utile de retenir ^^ )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbbd739b]

Maintenant j'ai un problème pour la suite...

J'ai montré qu'il existait un voisinage de 0 dans sur lequel f est bornée. En fait j'ai juste dit que , donc est un voisinage de 0 et f est bornée par 2M sur ce voisinage.

Après il faut que je montre que la fonction est continue en 0, puis sur . Pour montrer qu'elle est continue en 0 j'ai pris une suite telle que et je veux montrer que .

Je sais qu'il existe tel que dès que . Donc dès que . Mais je sais pas si M tend vers 0...

Un peu d'aide ne serait pas de refus!

[invite4ef352d8]

Salut !

j'ai pas lu tous ton exo, mais il me semble que tu as réussit à prouver que f etait borné sur un voisinage de 0 c'est ca ?

sont il existe un a, telle que pour tous x dans ]-a,a[. |f(x)|<M

pour conclure il faut utiliser que f est Q-linéaire, (en fait ca marche comme sur les R-ev : si f est borné sur la boule unité alors f est continu...)

on va donc plutot utiliser la définition de la continuité :

soit e>0., il existe n telle que M/n<e
soit x appartenant a ]-a/n,a/n[ alors f(nx) =nf(x)<=M, f(x)<=M/n<e
et donc f est continu en zéro

[inviteae1ed006]

Bonjour Ksilver,
j'ai suivit le même problème sur un autre forum, posté par une autre étudiante surement de la même école...
un point me chiffonne néanmoins...pour que le produit de convolution h*h soit continu il faut que soit de mesure fini, non ?

[invite4ef352d8]

euh... ouai je suis passé un peu vite la... pourqu'il soit définit déja il faut Am soit de mesure finit. mais c'est pas trog genant on peut prendre un sous ensemble de Am de mesure finit (et qui soit toujour stable par x->-x...) et le probleme est réglé.. (enfin à moins que je soit encore entrain de passer trop vite sur qqch)

[inviteae1ed006]

Bonjour et merci Ksilver, j'ai l'impression que ça marche ! Bravo.
Je vais mettre un lien vers ta solution sur math-forum.
Merci