Problème avec les générateurs...
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Problème avec les générateurs...



  1. #1
    invite43bf475e

    Problème avec les générateurs...


    ------

    Bonjour @tous,

    Alors voilà, j'ai deux éléments a et b d'un groupe multiplicatif (G,x), d'ordres respectifs n et p premiers entres eux et qui commutent. (en fait dans l'énoncé je ne sais pas s'ils parlent de a, b ou de p, n...). Bref je dois déterminer l'ordre de ab.

    J'ai trouvé p+n, mais ca me semble un peu rapide, et je ne vois pas à quoi nous sert l'hypothèse de primalité... y aurait-il du cyclique la dedans??!

    En fait, j'ai fais de la sorte :

    Soit fG,x)->(/x\,x)
    /x\={x^k, k app à Z}
    ord(a)=ord(x^n)=n
    ord(b)=ord(x^p)=p
    d'ou ab=ba=x^p . x^n = x^(p+n)
    donc ord(ab)=p+n...

    Help me! please!

    -----

  2. #2
    invite57a1e779

    Re : HELP ME! Problème avec les générateurs...

    Ta démonstration est totalement incompréhensible
    Citation Envoyé par M I L A S Voir le message
    En fait, j'ai fais de la sorte :

    Soit fG,x)->(/x\,x)
    /x\={x^k, k app à Z}
    ord(a)=ord(x^n)=n
    ord(b)=ord(x^p)=p
    d'ou ab=ba=x^p . x^n = x^(p+n)
    donc ord(ab)=p+n...:
    Qui est ce x dont tu nous rebats les oreilles dès le départ ? Il est tombé de la lune et tu l'as attrapé au passage ?

  3. #3
    invitebb921944

    Re : HELP ME! Problème avec les générateurs...

    Alors voilà, j'ai deux éléments a et b d'un groupe multiplicatif (G,x), d'ordres respectifs n et p premiers entres eux et qui commutent. (en fait dans l'énoncé je ne sais pas s'ils parlent de a, b ou de p, n...). Bref je dois déterminer l'ordre de ab.

    J'ai trouvé p+n, mais ca me semble un peu rapide, et je ne vois pas à quoi nous sert l'hypothèse de primalité... y aurait-il du cyclique la dedans??!

    En fait, j'ai fais de la sorte :

    Soit fG,x)->(/x\,x)
    /x\={x^k, k app à Z}
    ord(a)=ord(x^n)=n
    ord(b)=ord(x^p)=p
    d'ou ab=ba=x^p . x^n = x^(p+n)
    donc ord(ab)=p+n...

    Help me! please!
    Ils parlent de a et b. n et p sont des entiers, ils commutent forcément.

    Sinon ord(a)=ord(x^n) ca veut dire quoi ?
    Il sort d'où le x ?

  4. #4
    invite43bf475e

    Re : HELP ME! Problème avec les générateurs...

    Qui est ce x dont tu nous rebats les oreilles dès le départ ? Il est tombé de la lune et tu l'as attrapé au passage ?
    Un peu de retenue, je vous prie. J'ai défini ce "x" précedemment par :
    /x\={x^k, k app à Z}
    Je n'arrive plus à ouvrir la page pdf permettant d'obtenir les info concernant le Latex. en Fait /x\ correspond au générateur du groupe G.

    Ensuite on définit l'ordre d'un élément dans un groupe selon ceci :

    Soit f : Z -> /x\ qui à n->x^n
    un morphisme de groupe surjectif de (Z,+) dans (/x\,*)
    Son noyau est un sous groupe de (Z,+), il est de la forme :

    *Ker f = {0} =>f est un isomorphisme entre (Z,+) et (/x\,*)
    On dira que x est d'ordre infini.

    *Ker f = pZ, p>0, dans ce cas:
    /x\ = {}
    il est de cardinal p.
    On appelle p l'ordre de x.

    Voilà, à présent si quelqu'un peut m'éclairer, je lui serais reconnaissant...
    merci

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitebb921944

    Re : HELP ME! Problème avec les générateurs...

    Je n'arrive plus à ouvrir la page pdf permettant d'obtenir les info concernant le Latex. en Fait /x\ correspond au générateur du groupe G.
    Bin ouais mais faut pas chercher plus loin, je ne crois pas avoir lu dans ton énoncé que ton groupe était monogène. Si ?

    /x\={x^k, k app à Z}
    Ici tu ne définis pas l'élément x mais la notation /x\

    en Fait /x\ correspond au générateur du groupe G.
    x est un générateur de G, /x\ est le groupe généré par x, c'est à dire G.

  7. #6
    invite1237a629

    Re : HELP ME! Problème avec les générateurs...

    Plop,

    J'ai un simili de démo à proposer...

    n est l'ordre de a, donc a^n = 1 dans G et n est le plus petit entier vérifiant cette propriété
    p est l'ordre de b, donc b^p = 1 dans G et idem



    Donc l'ordre de ab divise np.

    Deux cas :
    • Soit d un diviseur premier de np, tel que np/d soit l'ordre de ab

    Comme n et p sont premiers entre eux, il y a deux cas :
    - d divise n et ne divise pas p.
    on a :

    Or, a^k = 1 si et seulement si k est un multiple de n. Et np/d ne peut pas être un multiple de n (n et p premiers entre eux... démonstration par l'absurde je pense)
    Donc d ne peut pas diviser n.
    - même démo pour d divise p et ne divise pas n.

    Donc il n'existe pas de diviseur premier de np tel que np/d soit l'ordre de ab
    • Soit d un nombre premier diviseur de np, tel que d soit l'ordre de ab

    Absurdité (le même style je pense)


    => l'ordre est np


    Ce n'est certes pas très rigoureux, mais ce n'est pas le genre de démonstration que je préfère :/

  8. #7
    invite43bf475e

    Re : HELP ME! Problème avec les générateurs...

    merci, mais je n'arrive pas à comprendre, enfin c'est à mon avis une question de connaissance (on a finis le cours avant les vacances, et aucuns exos..., bref) mais pourquoi : a^n=1 et b^p=1?c'est une propriété de l'ordre des éléments dans un groupe?

  9. #8
    invite1237a629

    Re : HELP ME! Problème avec les générateurs...

    Dans un groupe multiplicatif, l'ordre k d'un élément x est le plus petit entier tel que x^k = 1 dans le groupe.

    Dans un groupe additif, c'est kx = 1

    Mais si tu ne connais pas cette définition, pourquoi tu veux démontrer ça ? oO

  10. #9
    invite43bf475e

    Re : HELP ME! Problème avec les générateurs...

    Pardon! en fait j'ai mal interprété ton a^n et b^p...
    En ft au départ, je pensais que a et b étaient des élements de G tq : a = x^n et b=x^p, et je pensais définir l'ordre de a et b comme cela.

    Et la je viens de voir dans une demo, quelquechose que tu viens d'utiliset notamment le fait que : a^n=e(élément neutre=1 ici)

    Ca ma parait plus clair, merci à toi!!!

    Mais concernant ce sujet j'ai une autre question :

    voila: j'ai toujours f : Z-> /x\
    (c'est toujours le même f que dans le théorème cité précedemment)

    si Ker f diff de {0},
    On a vu que Ker f = pZ, p>0, p app à Ker f
    ensuite dans mon cours j'ai : f(p)=e ie x^p=e !!! et la je ne comprends pas! et effectivement en remarque, à la fin, on me précise, ouf, que le résultat précedent prouve que p est le plus petit entier naturel vérifiant x^p=e!

    c'est un postulat! je comprends pas pourquoi on a cela!

  11. #10
    invitebb921944

    Re : HELP ME! Problème avec les générateurs...

    Dans un groupe additif, c'est kx = 1
    C'est pas plutot 0 ?

  12. #11
    invite1237a629

    Re : HELP ME! Problème avec les générateurs...

    Oui, désolée :s

  13. #12
    invite43bf475e

    Re : HELP ME! Problème avec les générateurs...

    je viens d'effectuer quelque recherche et effectivement, Si G est un groupe, on appelle ordre de G le cardinal de G. Si x est un élément de G, l'ordre de x est le plus petit entier strictement positif tel que x^k=1. C'est aussi l'ordre du sous-groupe de G engendré par x. en fait j'ai rien dans mon cours qui me l'affirme!!!

  14. #13
    invitebb921944

    Re : HELP ME! Problème avec les générateurs...

    Mais concernant ce sujet j'ai une autre question :

    voila: j'ai toujours f : Z-> /x\
    (c'est toujours le même f que dans le théorème cité précedemment)

    si Ker f diff de {0},
    On a vu que Ker f = pZ, p>0, p app à Ker f
    ensuite dans mon cours j'ai : f(p)=e ie x^p=e !!! et la je ne comprends pas! et effectivement en remarque, à la fin, on me précise, ouf, que le résultat précedent prouve que p est le plus petit entier naturel vérifiant x^p=e!

    c'est un postulat! je comprends pas pourquoi on a cela!
    Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?
    Si kerf=pZ
    On a px appartient à kerf pour tout x de Z.
    Donc p appartient à kerf, ce qui veut dire par définition que f(p)=e.
    Or f(p)=x^p
    Donc x^p=e

  15. #14
    invite43bf475e

    Re : HELP ME! Problème avec les générateurs...

    c'est le fait que x^p = e! non quand même je sais reconnaître une fonction!
    On le pose, on le démontre?? pourquoi? je n'ai que ce théorème la dans mon cours, et je ne vois pas pourquoi x^p=e

  16. #15
    invitebb921944

    Re : HELP ME! Problème avec les générateurs...

    Bin parce qu'on a :
    Ker(f)={k de Z tels que x^k=1} dans le cas d'un groupe multiplicatif.
    Donc si p appartient à Kerf, x^p=1

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