Problème avec les générateurs...

[invite43bf475e]

Bonjour @tous,

Alors voilà, j'ai deux éléments a et b d'un groupe multiplicatif (G,x), d'ordres respectifs n et p premiers entres eux et qui commutent. (en fait dans l'énoncé je ne sais pas s'ils parlent de a, b ou de p, n...). Bref je dois déterminer l'ordre de ab.

J'ai trouvé p+n, mais ca me semble un peu rapide, et je ne vois pas à quoi nous sert l'hypothèse de primalité... y aurait-il du cyclique la dedans??!

En fait, j'ai fais de la sorte :

Soit fG,x)->(/x\,x)
/x\={x^k, k app à Z}
ord(a)=ord(x^n)=n
ord(b)=ord(x^p)=p
d'ou ab=ba=x^p . x^n = x^(p+n)
donc ord(ab)=p+n...

Help me! please!
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[invite57a1e779]

Ta démonstration est totalement incompréhensible

En fait, j'ai fais de la sorte :

Soit fG,x)->(/x\,x)
/x\={x^k, k app à Z}
ord(a)=ord(x^n)=n
ord(b)=ord(x^p)=p
d'ou ab=ba=x^p . x^n = x^(p+n)
donc ord(ab)=p+n...:

Qui est ce x dont tu nous rebats les oreilles dès le départ ? Il est tombé de la lune et tu l'as attrapé au passage ?

[invitebb921944]

Alors voilà, j'ai deux éléments a et b d'un groupe multiplicatif (G,x), d'ordres respectifs n et p premiers entres eux et qui commutent. (en fait dans l'énoncé je ne sais pas s'ils parlent de a, b ou de p, n...). Bref je dois déterminer l'ordre de ab.

J'ai trouvé p+n, mais ca me semble un peu rapide, et je ne vois pas à quoi nous sert l'hypothèse de primalité... y aurait-il du cyclique la dedans??!

En fait, j'ai fais de la sorte :

Soit fG,x)->(/x\,x)
/x\={x^k, k app à Z}
ord(a)=ord(x^n)=n
ord(b)=ord(x^p)=p
d'ou ab=ba=x^p . x^n = x^(p+n)
donc ord(ab)=p+n...

Help me! please!

Ils parlent de a et b. n et p sont des entiers, ils commutent forcément.

Sinon ord(a)=ord(x^n) ca veut dire quoi ?
Il sort d'où le x ?

[invite43bf475e]

Qui est ce x dont tu nous rebats les oreilles dès le départ ? Il est tombé de la lune et tu l'as attrapé au passage ?

Un peu de retenue, je vous prie. J'ai défini ce "x" précedemment par :

/x\={x^k, k app à Z}

Je n'arrive plus à ouvrir la page pdf permettant d'obtenir les info concernant le Latex. en Fait /x\ correspond au générateur du groupe G.

Ensuite on définit l'ordre d'un élément dans un groupe selon ceci :

Soit f : Z -> /x\ qui à n->x^n
un morphisme de groupe surjectif de (Z,+) dans (/x\,*)
Son noyau est un sous groupe de (Z,+), il est de la forme :

*Ker f = {0} =>f est un isomorphisme entre (Z,+) et (/x\,*)
On dira que x est d'ordre infini.

*Ker f = pZ, p>0, dans ce cas:
/x\ = {}
il est de cardinal p.
On appelle p l'ordre de x.

Voilà, à présent si quelqu'un peut m'éclairer, je lui serais reconnaissant...
merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Je n'arrive plus à ouvrir la page pdf permettant d'obtenir les info concernant le Latex. en Fait /x\ correspond au générateur du groupe G.

Bin ouais mais faut pas chercher plus loin, je ne crois pas avoir lu dans ton énoncé que ton groupe était monogène. Si ?

/x\={x^k, k app à Z}

Ici tu ne définis pas l'élément x mais la notation /x\

en Fait /x\ correspond au générateur du groupe G.

x est un générateur de G, /x\ est le groupe généré par x, c'est à dire G.

[invite1237a629]

Plop,

J'ai un simili de démo à proposer...

n est l'ordre de a, donc a^n = 1 dans G et n est le plus petit entier vérifiant cette propriété
p est l'ordre de b, donc b^p = 1 dans G et idem



Donc l'ordre de ab divise np.

Deux cas :

• Soit d un diviseur premier de np, tel que np/d soit l'ordre de ab

Comme n et p sont premiers entre eux, il y a deux cas :
- d divise n et ne divise pas p.
on a :

Or, a^k = 1 si et seulement si k est un multiple de n. Et np/d ne peut pas être un multiple de n (n et p premiers entre eux... démonstration par l'absurde je pense)
Donc d ne peut pas diviser n.
- même démo pour d divise p et ne divise pas n.

Donc il n'existe pas de diviseur premier de np tel que np/d soit l'ordre de ab

• Soit d un nombre premier diviseur de np, tel que d soit l'ordre de ab

Absurdité (le même style je pense)


=> l'ordre est np


Ce n'est certes pas très rigoureux, mais ce n'est pas le genre de démonstration que je préfère :/

[invite43bf475e]

merci, mais je n'arrive pas à comprendre, enfin c'est à mon avis une question de connaissance (on a finis le cours avant les vacances, et aucuns exos..., bref) mais pourquoi : a^n=1 et b^p=1?c'est une propriété de l'ordre des éléments dans un groupe?

[invite1237a629]

Dans un groupe multiplicatif, l'ordre k d'un élément x est le plus petit entier tel que x^k = 1 dans le groupe.

Dans un groupe additif, c'est kx = 1

Mais si tu ne connais pas cette définition, pourquoi tu veux démontrer ça ? oO

[invite43bf475e]

Pardon! en fait j'ai mal interprété ton a^n et b^p...
En ft au départ, je pensais que a et b étaient des élements de G tq : a = x^n et b=x^p, et je pensais définir l'ordre de a et b comme cela.

Et la je viens de voir dans une demo, quelquechose que tu viens d'utiliset notamment le fait que : a^n=e(élément neutre=1 ici)

Ca ma parait plus clair, merci à toi!!!

Mais concernant ce sujet j'ai une autre question :

voila: j'ai toujours f : Z-> /x\
(c'est toujours le même f que dans le théorème cité précedemment)

si Ker f diff de {0},
On a vu que Ker f = pZ, p>0, p app à Ker f
ensuite dans mon cours j'ai : f(p)=e ie x^p=e !!! et la je ne comprends pas! et effectivement en remarque, à la fin, on me précise, ouf, que le résultat précedent prouve que p est le plus petit entier naturel vérifiant x^p=e!

c'est un postulat! je comprends pas pourquoi on a cela!

[invitebb921944]

Dans un groupe additif, c'est kx = 1

C'est pas plutot 0 ?

[invite1237a629]

Oui, désolée :s

[invite43bf475e]

je viens d'effectuer quelque recherche et effectivement, Si G est un groupe, on appelle ordre de G le cardinal de G. Si x est un élément de G, l'ordre de x est le plus petit entier strictement positif tel que x^k=1. C'est aussi l'ordre du sous-groupe de G engendré par x. en fait j'ai rien dans mon cours qui me l'affirme!!!

[invitebb921944]

Mais concernant ce sujet j'ai une autre question :

voila: j'ai toujours f : Z-> /x\
(c'est toujours le même f que dans le théorème cité précedemment)

si Ker f diff de {0},
On a vu que Ker f = pZ, p>0, p app à Ker f
ensuite dans mon cours j'ai : f(p)=e ie x^p=e !!! et la je ne comprends pas! et effectivement en remarque, à la fin, on me précise, ouf, que le résultat précedent prouve que p est le plus petit entier naturel vérifiant x^p=e!

c'est un postulat! je comprends pas pourquoi on a cela!

Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?
Si kerf=pZ
On a px appartient à kerf pour tout x de Z.
Donc p appartient à kerf, ce qui veut dire par définition que f(p)=e.
Or f(p)=x^p
Donc x^p=e

[invite43bf475e]

c'est le fait que x^p = e! non quand même je sais reconnaître une fonction!
On le pose, on le démontre?? pourquoi? je n'ai que ce théorème la dans mon cours, et je ne vois pas pourquoi x^p=e

[invitebb921944]

Bin parce qu'on a :
Ker(f)={k de Z tels que x^k=1} dans le cas d'un groupe multiplicatif.
Donc si p appartient à Kerf, x^p=1