[Arithmétique] Aller hop, encore un exercice rigolo pour l'année 2008

[invite9c9b9968]

Hello tout le monde !

En ce moment je suis habité par un esprit joueur, je vous propose donc des exercices

Un petit spécial année 2008 :

Montrer qu'il existe au moins un multiple de 2008 qui ne s'écrit que avec le chiffre 8 ; montrer qu'il en existe en fait une infinité
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[Médiat]

Montrer qu'il existe au moins un multiple de 2008 qui ne s'écrit que avec le chiffre 8 ; montrer qu'il en existe en fait une infinité

En étudiant (succintement) Z/2259Z, par exemple ?

[invite9c9b9968]

Euhhh... Suis pas certain que ça soit la solution la plus évidente

(je n'ai pas conçu l'exercice en pensant à cet ensemble en tout cas, voire je ne vois pas dans l'immédiat d'où tu le sors)

[Médiat]

(je n'ai pas conçu l'exercice en pensant à cet ensemble en tout cas, voire je ne vois pas dans l'immédiat d'où tu le sors)

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Trouver un multiple de 2008 qui ne s'écrit qu'avec des 8, c'est comme trouver un multiple de 251 qui ne s'écrit qu'avec des 1, ou un multiple de 2259 qui ne s'écrit qu'avec des 9, c'est à dire de la forme 10[exp]n[exp] - 1, et comme 2259 et 10 sont premiers entre eux ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Plop,

Bon, j'ai la solution, en ayant été un peu gwyddée

Mais j'ai une question par rapport à ton raisonnement

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Si 251 divise (10^n-1)/9, vu que 9 et 251 premiers entre eux, il suffit de dire que 251 divise 10^n-1 non ?
Et en ce cas, petit Fermat et on a la solution ?

[invite57a1e779]

Hello tout le monde !

En ce moment je suis habité par un esprit joueur, je vous propose donc des exercices

Un petit spécial année 2008 :

Montrer qu'il existe au moins un multiple de 2008 qui ne s'écrit que avec le chiffre 8 ; montrer qu'il en existe en fait une infinité

Ce qu'il y a de bien avec cet exo, c'est qu'on peut le poser pratiquement toutes les années, en le modifiant légèrement.

[invite9c9b9968]

Médiat, ou l'art de faire compliqué quand on peut faire simple

J'ai pigé ce que tu voulais dire

Sinon tu as bien moletté la primalité MiMoiMolette

[Médiat]

Mais j'ai une question par rapport à ton raisonnement

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Plutôt Euler que Fermat

[invite9c9b9968]

Ce qu'il y a de bien avec cet exo, c'est qu'on peut le poser pratiquement toutes les années, en le modifiant légèrement.

En effet, je n'ai fait que modifier un autre exercice

que tu auras peut-être reconnu, notamment la provenance...

[invite9c9b9968]

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Plutôt Euler que Fermat

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Non Fermat, car 251 est bien premier

[Médiat]

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Non Fermat, car 251 est bien premier

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Certes mais j'utilise 2259 qui ne l'est pas, mais qui est premier avec 10

[invite1237a629]

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Euler, Fermat...c'est du pareil au même ~

[Médiat]

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Euler, Fermat...c'est du pareil au même ~

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Fermat est bien un cas particulier d'Euler, effectivement

[Médiat]

Médiat, ou l'art de faire compliqué quand on peut faire simple

S'il te plait, pourrais-tu mettre fin à mes tourments et donner la solution plus simple que de remarquer que 10 et 2259 sont premiers entre eux (parce que depuis, je )

[invite1237a629]

Je vais essayer

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2008 = 8*251

888....8888 = 8*(10^n - 1)/9

Donc ceci revient à montrer que 251 divise (10^n - 1)/9

Or 251 est premier, donc 9 ne divisera pas 251.

Donc cela revient à montrer que 251 divise 10^n -1, que l'on peut démontrer grâce au théorème d'Euler ^^

Ca vous semble correct monsieur ?

[invite9c9b9968]

MiMoiMolette a tout dit, mais je vais le dire d'une manière légèrement différente pour la fin

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Donc comme dit la molette, l'exercice revient à trouver un n tel que .

Là pour ma part je commence à dire que pour tout n on aura et qu'effectivement par primalité de 251 il n'y a pas de souci à dire que le problème revient à trouver n tel que .

Ceci se résout efficacement en invoquant le petit théorème de Fermat, et une fois trouvé un entier n qui convient, tout multiple de cet entier convient aussi ce qui permet de démontrer qu'il existe une infinité de multiples de 2008 de la forme 88888...8

[Médiat]

MiMoiMolette a tout dit

Et dire que je pensais que la molette se moquait de ma pipe (jeu de mots), parce que c'est la même solution que celle que je proposais (même si c'est dit autrement) . C'est malin :je cherche depuis une semaine une autre méthode.

[invite9c9b9968]

Et dire que je pensais que la molette se moquait de ma pipe (jeu de mots), parce que c'est la même solution que celle que je proposais (même si c'est dit autrement) . C'est malin :je cherche depuis une semaine une autre méthode.

Bah désolé alors, le guidon prie la pipe de le pardonner pour l'avoir fourvoyé.

[invite1237a629]

Ah mais ce n'était pas du pipe...au !