V.a. définie par récurrence

[Bleyblue]

Bonjour,

J'ai une suite X_n de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées, d'esperance u et de variance s et j'ai la suite de v.a. définie par :

Y₁ = X₁/2

Y_n = (Y_{n - 1} + X_n)/2 pour n > 1

Je cherche dans un premier temps l'espérance la variance et la fonction caractéristique de Y_n

Alors, moi je montre (par induction) qu'en fait :



Ce qui me permet de trouver l'espérance de Y_n :



De même pour la variance j'ai (j'utilise le fait que Var(aX) = a²Var(X) et que les Xi sont iid ce qui fait que Var(somme) = Somme(var))


(je peux détailler si quelqu'un veut mais ce n'est que du calcul)

Pour la fonction caractéristique j'ai de plus :


= (par indépendance des Xi)

=

Ou phi désigne la fonction caractéristique des Xi

Ca marche tout ça vous pensez ? En particulier le dernier point ? Ce n'est pas fort joli comme expression ...

merci !
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[Bleyblue]

Moi je dis que c'est bon, ça en a l'air

Si les Xi sont distribués selons une normale (u,s²) alors j'ai de plus :



(vu que la fonction caractéristique d'une normale (u,s²) c'est )
C'est à dire :



Après mise en évidence et factorisation des sommes de 2^x ça donne donc :



Donc, par le théorème de Levy, Yn est de loi normale ()

Et la fonction caractéristique de Yn tend vers celle d'une loi normale (u,s²) lorsque n tend vers l'infini donc par le théorème de Levy à nouveau Yn converge en loi vers une normale (u,s²)

Si quelqu'un peut confirmer l'exactitude de tout ça ...

merci

[Bleyblue]

Attention j'ai commis une erreur de calcul pour la partie b), j'ai oublié d'élever les dénominateurs 2^i au carré en injectant dans la fonction caractéritique.

Ce n'est pas bien grave car ça ne change pas le résultat final