Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 3 sur 3

V.a. définie par récurrence



  1. #1
    Bleyblue

    V.a. définie par récurrence


    ------

    Bonjour,

    J'ai une suite Xn de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées, d'esperance u et de variance s et j'ai la suite de v.a. définie par :

    Y1 = X1/2

    Yn = (Yn - 1 + Xn)/2 pour n > 1

    Je cherche dans un premier temps l'espérance la variance et la fonction caractéristique de Yn

    Alors, moi je montre (par induction) qu'en fait :



    Ce qui me permet de trouver l'espérance de Yn :



    De même pour la variance j'ai (j'utilise le fait que Var(aX) = a²Var(X) et que les Xi sont iid ce qui fait que Var(somme) = Somme(var))


    (je peux détailler si quelqu'un veut mais ce n'est que du calcul)

    Pour la fonction caractéristique j'ai de plus :


    = (par indépendance des Xi)

    =

    Ou phi désigne la fonction caractéristique des Xi

    Ca marche tout ça vous pensez ? En particulier le dernier point ? Ce n'est pas fort joli comme expression ...

    merci !

    -----

  2. 📣 Nouveau projet éditorial de Futura
    🔥🧠 Le Mag Futura est lancé, découvrez notre 1er magazine papier

    Une belle revue de plus de 200 pages et 4 dossiers scientifiques pour tout comprendre à la science qui fera le futur. Nous avons besoin de vous 🙏 pour nous aider à le lancer...

    👉 Je découvre le projet

    Quatre questions à explorer en 2022 :
    → Quels mystères nous cache encore la Lune 🌙 ?
    → Pourra-t-on bientôt tout guérir grâce aux gènes 👩‍⚕️?
    → Comment nourrir le monde sans le détruire 🌍 ?
    → L’intelligence artificielle peut-elle devenir vraiment intelligente 🤖 ?
  3. #2
    Bleyblue

    Re : V.a. définie par récurrence

    Moi je dis que c'est bon, ça en a l'air

    Si les Xi sont distribués selons une normale (u,s²) alors j'ai de plus :



    (vu que la fonction caractéristique d'une normale (u,s²) c'est )
    C'est à dire :



    Après mise en évidence et factorisation des sommes de 2^x ça donne donc :



    Donc, par le théorème de Levy, Yn est de loi normale ()

    Et la fonction caractéristique de Yn tend vers celle d'une loi normale (u,s²) lorsque n tend vers l'infini donc par le théorème de Levy à nouveau Yn converge en loi vers une normale (u,s²)

    Si quelqu'un peut confirmer l'exactitude de tout ça ...

    merci

  4. #3
    Bleyblue

    Re : V.a. définie par récurrence

    Attention j'ai commis une erreur de calcul pour la partie b), j'ai oublié d'élever les dénominateurs 2^i au carré en injectant dans la fonction caractéritique.

    Ce n'est pas bien grave car ça ne change pas le résultat final

Discussions similaires

  1. Suite définie par récurrence
    Par MS.11 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 6
    Dernier message: 10/10/2007, 20h29
  2. Etude d'une suite définie par récurrence pour u0 décrivant R
    Par ledimut dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 09/10/2007, 19h11
  3. Somme des termes d'une suite définie par récurrence
    Par kjm dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 8
    Dernier message: 28/09/2006, 23h54
  4. Somme des termes d'une suite définie par récurrence
    Par kjm dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 7
    Dernier message: 28/09/2006, 21h53
  5. suite d'entier definie par recurrence
    Par smt dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 14
    Dernier message: 17/02/2005, 15h06