Suite définie par récurrence

[inviteea5db5e2]

Au terme d'un devoir maison fort complexe sur les fonctions, je me heurte à un double problème. Compréhension de la quesion et l'autre problème pour... y répondre !

On définit une suite telle que : et

avec

Cette fonction, je l'ai étudiée de fond en comble... j'ai le tableau de variations ... tout !

On me demande de calculer les trois termes suivants de la suite. C'est fait. Puis la question est "Que pouvez-vous en déduire sur le sens de variation de .

Voilà. Alors, à part que le correcteur me vouvoie, ce qui est en soi très flatteur, cette question ne me dit pas grand chose. Je pense sans en être sur qu'il faut faire une conjecture et la démontrer.

Je trouve que est strictement décroissante à partir de . Mais là où réside mon vrai problème c'est pour le démontrer.

Les méthodes classiques comme le quotient ou la différence de deux termes consécutifs ne me semblent pas fonctionner. Comment dois-je m'y prendre?

Merci de votre aide par avance.
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[invitec336fcef]

Bonjour, je peux me tromper, mais visiblement :
Uo = 1;
U1 = 6.2;
U2 = -32,904;
U3 = -44157,84258;

J'espère ne pas me tromper. Ces valeurs semblent bizarre pour un tel exercice (à moins qu'il y ait une erreur sur f).
A partir de n=1, on peut en déduire que la suite est décroissante.
Eventuellement, on peut le montrer par récurrence sur n. Il faut juste faire intervenir le fait que f est croissante dans :


Bien entendu, il faut poser les choses "proprement".
Cordialement.

[inviteea5db5e2]

Merci pour le conseil.

Je trouve les mêmes valeurs. Donc après je fais une démonstration par récurrence en disant que . Donc c'est initialisé. Et pour l'hérédité j'écris ce que tu m'as donné ketchupi ? En considérant comme hypothèse de récurrence ?

Si j'ai bien compris c'est ca ? puisque ma fonction est croissante sur et qu'elle ne prend ses valeurs que dans cet intervalle à parit du rang 1...

[inviteea5db5e2]

Mais j'ai quand même un problème puisque 6,2 et -32,904 n'appartiennent pas au même intervalle où f est croissante

et c'est par pur hasard que f(-32,904) est inférieur à f(6,2) ! c'est pas grace à la croissance de la fonction ! puisqu'ils appartiennent pas au même intervalle de croissance ?

quelqu'un peut il m'éclairer ? merci d'avance !

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea5db5e2]

A l'aide par pitié ! Un coup de pouce ou d'index d'ailleurs mais ne me laissez pas !

Merci.

[invitec336fcef]

Effectivement, la fonction n'est pas strictement croissante sur R. Dans ce cas, la décroissance de la suite serait à partir du rang n=2.

L'hypothèse serait plutôt :
: Soit le rang jusqu'auquel la suite est décroissante.
Montrons que la propriété est également vérifiée.

[inviteea5db5e2]

Je démarre donc au rang 2.

Merci beaucoup ketchupi !