suite d'entier definie par recurrence

[invite55c88d9c]

comment donner une expression explicite (utilisant les suites usuels)de la suite suivante:

U0=2 et pour tout n > 0 : 2^[U(n)]=U(n+1)
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[inviteab2b41c6]

Tout d'abord bonjour.
Ensuite, regarde ce qui se passe pour les premiers termes:
u(0)=2
u(1)=2²=4
u(2)=4²=16=(2²)²=2^(2*2)
u(3)=16²=2^(2*2*2)

En fait on voit bien que u(n)=2^(2^n)
Et ca se montre par recurrence très facilement...

[invite55c88d9c]

nous ne discutons pas de la meme suite on a en fait :
U(1)=2^U(0)=2^2=4
U(2)=2^U(1)=2^4=16
U(3)=2^U(2)=2^16=65536

[inviteab2b41c6]

Au temps pour moi, mais le principe est le même.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite55c88d9c]

si j'ai compris le principe reside dans l'observation des premiers termes puis on pose une relation liant U(n) et n.Mais la je ne vois pas.

[shokin]

Tu vois :

U1=4
U2=16
U3=65536

tu vois que ce sont des puissances de 2 donc :

U1=2^2
U2=2^4
U2=2^16

tu vois que les exposants également sont des puissances de 2 :

U1=2^(2^1)
U2=2^(2^2)
U2=2^(2^4)

tu vois que les exposants intérieurs sont des puissances également de 2 :

U1=2^(2^(2^0)
U2=2^(2^(2^1)
U3=2^(2^(2^2)

tu vois que les exposants finaux suivent une même suite que les n, simplement décalés d'1 donc :

U1=2^(2^(2^(1-1))
U2=2^(2^(2^(2-1))
U3=2^(2^(2^(3-1))
Un=2^(2^(2^(n-1))

[ce qui ne joue pas pour n=0]


Tu pouvais également suivre un autre raisonnement :

U1=4
U2=16
U3=65536

tu vois que ce sont tous des carrés donc :

U1=2^2
U2=4^2
U3=256^2

tu vois que les bases sont toutes des puissances de 2 donc :

U1=(2^1)^2
U2=(2^2)^2
U3=(2^8)^2

tu vois que les exposants intérieurs sont tous des puissances de 2 donc :

U1=(2^(2^0))^2
U2=(2^(2^1))^2
U3=(2^(2^3))^2

tu vois que la suite 0-1-3 est similaire à la suite 1-2-4 donc :

U1=(2^(2^(1-1)))^2
U2=(2^(2^(2-1)))^2
U3=(2^(2^(4-2)))^2

Tu vois ques les 1-2-4 sont des puissances de 2 donc :

U1=(2^(2^(2^0-1)))^2
U2=(2^(2^(2^1-1)))^2
U3=(2^(2^(2^2-2)))^2

Tu vois que les bases les plus intérieures suivent comme les n :

U1=(2^(2^(2^(1-1)-1)))^2
U2=(2^(2^(2^(2-1)-1)))^2
U3=(2^(2^(2^(3-1)-2)))^2
Un=(2^(2^(2^(n-1)-2)))^2

Ce qui après simplification donne le même résultat que dans l'autre raisonnement.

Shokin

[invite55c88d9c]

Les deux suites ainsi dététerminer sont distinctes (au rang n=3 par exemple) et de plus differente de la suite cherchée.
Ceci a partir du rang n=4 pour : Un=2^(2^(2^(n-1))
=2^(2^(2^(4-1))
= 2^(2^(2^(3))
=2^256
a partir du rang n=3 pour : Un=(2^(2^(2^(n-1)-2)))^2
=(2^(2^(2^(3-1)-2)))^2
=(2^(2^(2^(2)-2)))^2
=(2^(2^(2)))^2
=256

or pour la suite cherchée : U(3)=2^U(2)=65536
U(4)=2^65536

d'ou la difference avec les resultats proposés.

[shokin]

ah ! heu... je ne me suis basé que sur n=1, n=2, n=3... comme tu as pu voir.

revoyons donc :

U0=2 et pour tout n > 0 : 2^[U(n)]=U(n+1)

U0=2

U1=4
U2=16
U3=65536
U4=4294967296

U1=2^2
U2=2^(2^2)
U3=2^(2^(2^2)
U4=2^(2^(2^(2^2)
...

mais après... gloup...

Shokin

[invite55c88d9c]

Désolé mais U(4)=2^65536
= 2^(2^16)
=2^(2^2*2^14)
=(2^(2^2))^(2^14)
=16^16384 car 2^14=16384
>10^16384
donc U(4) contient au moins 16384 chiffre.
Tu a fait 65536^2=4294967296.
Le probleme de cette suite reside dans la difficuté a calculer ses termes pour observer son comportement.

[shokin]

oups !

mais après... comment faire ?

Shokin

[invite55c88d9c]

Je ne sais pas........

[invite55c88d9c]

En cour je n'ais appri que la résolution des suite définie par recurrence qui vérifie une equation lineaire.Mais ici l'equation n'est pas lineaire,d'ou la difficulté.Peut étre en trouvant un morphisme de structure de monoide on pourrais résoudre.

[invite4793db90]

Salut,

pourquoi ne pas étudier la suite Vn=log(Un)?

[invite55c88d9c]

Je ne compremd pas pourquoi utiliser le logarithme decimal pour résoudre ce probleme ?

[invite4793db90]

Autant pour moi, j'ai répondu un peu vite.

En fait, U_n=2^(2^(2^(2^(...))...) où les 2 apparaissent n fois.

Je ne sais pas si on peut trouver une expression "plus simple". :confused:

En tout cas, je ne vois pas.

Cordialement.