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Z/nZ



  1. #1
    moijdikssékool

    Z/nZ


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    ah tiens, je savais pas qu'on pouvait poser des problèmes de maths

    Alors j'en ai un:

    dans Z/nZ*, 2 est la classe des (2,2+n,2+2n...) alors que 2 peut diviser n (par exemple si n est pair). Donc 2 n'est pas premiers avec n puisque PGCD(2,n) = 2 (différent de 1)

    or, dans l'introduction dans la partie II de la 2ème compo du capes ext 2003, on lit:
    "Z/nZ* est l'ensemble des classes modulo n des nombres premiers avec n"

    2 est poutant une classe modulo n et n'est pas premier avec n pair... qu'est-ce qui cloche dans le raisonnement?

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  3. #2
    Quinto

    Re : Z/nZ

    En effet 2 n'est pas premier avec 2, donc n'est pas dedans.
    Ou est le probleme?
    Rappelons quand meme que 2=0

  4. #3
    moijdikssékool

    Re : Z/nZ

    dans Z/2Z, 2 est effectivement dans la classe 0
    mais si on prend n = 6, 2 n'est pas premier avec n

    or, dans l'introduction dans la partie II de la 2ème compo du capes ext 2003, on lit:
    "Z/nZ* est l'ensemble des classes modulo n des nombres premiers avec n"

    et 2 est une classe modulo 6 dans Z/6Z

  5. #4
    martini_bird

    Re : Z/nZ

    Salut,

    Z/nZ* est l'ensemble des éléments inversibles de Z/nZ.

    A+

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    moijdikssékool

    Re : Z/nZ

    oui

    bon, je vous recopie texto l'intro de la partie 2:

    n étant toujours un entier supérieur ou égal à 2, l'obejt de cette partie est l'étude du groupe ((Z/nZ)*,*) des éléments de Z/nZ inversibles pour la multiplication
    On rappelle que cet ensembleest composé des classes modulo n des nombres premiers avec n

    (page 4/8 du document pdf http://les-mathematiques.u-strasbg.f...gebre_2003.pdf)

  8. #6
    martini_bird

    Re : Z/nZ

    Je ne vois pas ce qui te tracasse? :confused:

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  10. #7
    moijdikssékool

    Re : Z/nZ

    2 divise 6, donc 2 n'est pas premier avec 6

    or 2 est une classe modulo 6 des nombres premiers avec 6, d'après le sujet

    c'est une contradiction ou non?

  11. #8
    gaetan25

    Re : Z/nZ

    il y a un théorème qui dit
    Soit n appartenant à N\{0,1} x appartenant à Z/nZ
    x inversible <=> pgcd(x,n)=1

    dem
    x inversible <=> il existe y appartenant à Z/nZ tel que x.y=1
    <=>x.y=k.n+1
    <=>x.y-k.n=1
    <=>(theoreme de bezout) x et n premiers entre eux


    dans ton exemple 2 n'est pas inversible dans Z/6Z

  12. #9
    martini_bird

    Re : Z/nZ

    2 représente une classe modulo 6.
    Mais tu vois bien que 2 n'est pas premier avec 6.
    Donc 2 n'est pas dans Z/6Z*.

    Je reformule le rappel du sujet: l'ensemble Z/nZ* est composé des classes modulo n telles que des représentants de ces classes soient premiers avec n.

    Ca va mieux?

  13. #10
    gaetan25

    Re : Z/nZ

    si 2 était inversible dans Z/6Z alors il existerait un y appartenant à Z/6Z tel que
    2.y=1 modulo 6
    donc il existerait un k appartenant à Z tel que
    2.y=6.k+1
    donc y-3k=1/2
    or y-3k appartient forcément à Z alors que 1/2 non! donc impossible

  14. #11
    moijdikssékool

    Re : Z/nZ

    mais oui, mais c'est bien sûr!

    en fait on construit un groupe à partir de Z/nZ*. On ne travaille pas directement sur Z/nZ*
    c'est cafouilli-cafouilla

    Je me rappelle de tout ca maintenant
    merci à tous!