Z/nZ

[moijdikssékool]

ah tiens, je savais pas qu'on pouvait poser des problèmes de maths

Alors j'en ai un:

dans Z/nZ*, 2 est la classe des (2,2+n,2+2n...) alors que 2 peut diviser n (par exemple si n est pair). Donc 2 n'est pas premiers avec n puisque PGCD(2,n) = 2 (différent de 1)

or, dans l'introduction dans la partie II de la 2ème compo du capes ext 2003, on lit:
"Z/nZ* est l'ensemble des classes modulo n des nombres premiers avec n"

2 est poutant une classe modulo n et n'est pas premier avec n pair... qu'est-ce qui cloche dans le raisonnement?
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[inviteab2b41c6]

En effet 2 n'est pas premier avec 2, donc n'est pas dedans.
Ou est le probleme?
Rappelons quand meme que 2=0

[moijdikssékool]

dans Z/2Z, 2 est effectivement dans la classe 0
mais si on prend n = 6, 2 n'est pas premier avec n

or, dans l'introduction dans la partie II de la 2ème compo du capes ext 2003, on lit:
"Z/nZ* est l'ensemble des classes modulo n des nombres premiers avec n"

et 2 est une classe modulo 6 dans Z/6Z

[invite4793db90]

Salut,

Z/nZ* est l'ensemble des éléments inversibles de Z/nZ.

A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[moijdikssékool]

oui

bon, je vous recopie texto l'intro de la partie 2:

n étant toujours un entier supérieur ou égal à 2, l'obejt de cette partie est l'étude du groupe ((Z/nZ)*,*) des éléments de Z/nZ inversibles pour la multiplication
On rappelle que cet ensembleest composé des classes modulo n des nombres premiers avec n

(page 4/8 du document pdf http://les-mathematiques.u-strasbg.f...gebre_2003.pdf)

[invite4793db90]

Je ne vois pas ce qui te tracasse? :confused:

[moijdikssékool]

2 divise 6, donc 2 n'est pas premier avec 6

or 2 est une classe modulo 6 des nombres premiers avec 6, d'après le sujet

c'est une contradiction ou non?

[invited20a02a9]

il y a un théorème qui dit
Soit n appartenant à N\{0,1} x appartenant à Z/nZ
x inversible <=> pgcd(x,n)=1

dem
x inversible <=> il existe y appartenant à Z/nZ tel que x.y=1
<=>x.y=k.n+1
<=>x.y-k.n=1
<=>(theoreme de bezout) x et n premiers entre eux


dans ton exemple 2 n'est pas inversible dans Z/6Z

[invite4793db90]

2 représente une classe modulo 6.
Mais tu vois bien que 2 n'est pas premier avec 6.
Donc 2 n'est pas dans Z/6Z*.

Je reformule le rappel du sujet: l'ensemble Z/nZ* est composé des classes modulo n telles que des représentants de ces classes soient premiers avec n.

Ca va mieux?

[invited20a02a9]

si 2 était inversible dans Z/6Z alors il existerait un y appartenant à Z/6Z tel que
2.y=1 modulo 6
donc il existerait un k appartenant à Z tel que
2.y=6.k+1
donc y-3k=1/2
or y-3k appartient forcément à Z alors que 1/2 non! donc impossible

[moijdikssékool]

mais oui, mais c'est bien sûr!

en fait on construit un groupe à partir de Z/nZ*. On ne travaille pas directement sur Z/nZ*
c'est cafouilli-cafouilla

Je me rappelle de tout ca maintenant
merci à tous!