Loi de N1/N2

[invitebb921944]

Bonjour,

j'ai un petit souci sur un exercice de probas.

Je sais, si f : R->R, calculer la loi de f(U) à partir de la loi de U (U à valeurs dans R bien entendu).

Je sais aussi calculer, si f : R^n-> R^n, la loi de f(U1,...,Un) à partir de la loi de U1,U2,...,Un (car on connait alors la loi de (U1,...,Un) ).

Par contre, je ne vois pas comment calculer la loi de N1/N2 en connaissant celle de N1 et celle de N2.

Je considère la fonction :

f : R²->R
f(x,y)=x/y

Pas de Jacobien à l'horizon car la Jacobienne n'est pas carrée.
Donc je fais comme d'habitude, je pose u=x/y dans mon intégrale (j'utilise l'espérance au passage) et j'obtiens du=(ydx-xdy)/y².
De là, je ne vois pas comment trouver une relation entre le dxdy de mon intégrale et le du que je veux obtenir...
Pour info, N1 et N2 suivent la loi normale N(0,1)

Merci de m'avoir lu.
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[invite986312212]

salut,

tu ne l'as pas précisé mais je suppose que N1 et N2 sont indépendants. Alors, avec la probabilité 1/2, N1 et N2 ont même signe. Cette partie de la distribution suit une loi log-normale, et pour l'autre partie (N1/N2<0) c'est -N1/N2 qui suit une loi lognormale.

[invitebb921944]

Merci pour ta réponse mais il manquait tout de même la méthode.

On a deux possibilités :

On applique Fubini, on fait le changement de variable u=x/y, on refait Fubini, on intègre et c'est gagné !

On pose u=x/y et v=y, puis on passe par le calcul du Jacobien...

[Burakumin]

Plus généralement si et sont des v.a. indépendantes de densités et alors est de densité :



et je crois que est de densité :



Avec ça on doit pouvoir trouver la densité de quels que soient leurs lois.

[A voir en vidéo sur Futura]