Anneaux fini et ordre d'un élément

[invitebb921944]

Bonjour,

Je me demandais :
dans un anneau fini A, peut-on trouver pour tout élément a de A un élément b de A tel que ab=ba=1 ? (A n'est a priori pas commutatif)

Merci pour votre aide.
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[invited5b2473a]

S'il est intègre, oui. De manière plus générale, tu peux trouver un élement x tel que x²=1

[invite769a1844]

Bonjour,

en général non, déjà pour l'élément neutre additif c'est pas possible. Ensuite si ta propriété est vraie pour tous les autres éléments, alors ton anneau est un corps, et tous les anneaux finis ne sont pas des corps (par exemple Z/4Z)

[invitebb921944]

Merci à vous deux !

Bonjour,

en général non, déjà pour l'élément neutre additif c'est pas possible. Ensuite si ta propriété est vraie pour tous les autres éléments, alors ton anneau est un corps, et tous les anneaux finis ne sont pas des corps (par exemple Z/4Z)

Oui je voulais dire tous les éléments sauf 0.
Tu as raison... Peut-être doit-il être de cardinal p premier.
J'ai le lemme :

Soit un corps gauche de caractéristique et un sous-groupe multiplicatif fini de . Alors est abélien (donc cyclique).

On me donne la démonstration suivante :

Soit le sous-corps premier de et soit . Clairement, est un sous-groupe fini de pour l'addition () (fini car est fini et est de cardinal par définition du sous-corps premier) . De plus, comme est un groupe pour la multiplication (ça ça va), est un sous-anneau fini de (ça ça va déjà moins...). Ainsi, est un corps gauche fini (et là c'est le pompon). Donc par le théorème précédent, est commutatif. Comme , le lemme est démontré.

Pourquoi serait-il un sous-anneau fini ????
Chaque élément de est d'ordre fini, chaque élément de aussi. Comment voir que chaque élément de l'anneau est d'ordre fini (pour la multiplication) ?

De plus, si est un sous-anneau de vu en tant qu'anneau, alorrs c'est un sous-corps de vu en tant que corps si ses éléments non nuls sont inversibles. Or je n'arrive pas à le démontrer.
Une combinaison linéaire d'éléments d'ordre fini est-elle d'ordre fini (pour la multiplication j'entends) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

S'il est intègre, oui. De manière plus générale, tu peux trouver un élement x tel que x2=1

Un anneau intègre fini est un corps !!!
La relation est trivialement satisfaite par , ce qui ne fait pas avancer le schmilblick...

[invite35452583]

A est dans un corps donc dans un anneau donc il n'y a qu'à vérifier la stabilité par l'addition, l'application "opposé" et la multiplication. les deux premières sont évidentes, pour la multiplication :

car les sont dans P_D qui est central dans D car engendré par l'élément central 1. Les g_ig_j sont dans G car G est un sous-groupe multiplicatif. le membre de gauche est donc dans A qui est stable pour la multiplication.
Il est intègre car est un sous-anneau d'un corps qui est un anneau intègre.
Comme l'a rappelé God'sBreath "anneau intègre fini=>corps" (en tout cas pour un anneau unitaire, un doute me taraude pour un anneau non nécessairement unitaire, ici G étant un sous-groupe multiplicatif du corps gauche D il contient l'unité de D donc A est unitaire).
Le fait que ce soit un corps est la simple conséquence que l'application x->ax étant injective (intégrité) elle est surjective donc il existe a' tel que aa'=1. De même, x->xa est injective et bijective et a est inversible à gauche.
Et donc le théorème de Wedderburn permet de conclure que A est un corps commutatif. Or le groupe multiplicatif d'un corps commutatif fini est cyclique et un sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique donc G est abélien et cyclique.

[invitebb921944]

Merci pour ces précisions homotopie !

[invite57a1e779]

Il est intègre car est un sous-anneau d'un corps qui est un anneau intègre.
Comme l'a rappelé God'sBreath "anneau intègre fini=>corps" (en tout cas pour un anneau unitaire, un doute me taraude pour un anneau non nécessairement unitaire, ici G étant un sous-groupe multiplicatif du corps gauche D il contient l'unité de D donc A est unitaire).
Le fait que ce soit un corps est la simple conséquence que l'application x->ax étant injective (intégrité) elle est surjective donc il existe a' tel que aa'=1. De même, x->xa est injective et bijective et a est inversible à gauche.

Je suis (du verbe suivre... pour ceux aui auraient des doutes...) Bourbaki, et, chez moi, les anneaux ont une unité...

Dans un pseudo-anneau, intègre et fini, l'application est injective, donc bijective...
En particulier, en fixant dans , il existe un unique tel que .
On a donc, pour tout de : donc et est unité à gauche.
On démontre de même l'existence d'une unité à droite , et il est classique que, dans ces conditions, est l'unité de l'anneau.
Puis on embraye sur l'inversibilité des éléments non nuls...