forme quadratique et courbe plane

[Bruno0693]

Bonjour,

Soit , , une forme quadratique sur R.

La matrice de sa forme polaire, relativement à la base canonique de R, est :

1 -3
-3 13

Soit le lieu géométrique d'équation : . .

On me demande de montrer qu'il existe un isomorphisme tel que admette une équation sous forme canonique. On demande également d'expliciter .

Je ne sais pas du tout comment m'y prendre pour cet exercice... J'ai essayé de diagonaliser mais les calculs sont vraiment "monstrueux" et je n'aboutis à rien...

Auriez-vous une idée ?

Merci.
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[Garf]

Il n'y a pas de calcul réellement monstrueux.


1) Trouver les valeurs propres de M. Une équation du second degré à résoudre, rien de plus. D'accord, il y a des racines, mais ce n'est pas là que ça doit coincer.

2) Trouver un vecteur propre pour chaque valeur propre. Il suffit de bien poser les choses.

3) On a ainsi une nouvelle base de R^2. Soit P la matrice de passage de la base canonique à cette nouvelle base. Instinctivement, on peut penser que T=P ou T=P^(-1). Je te laisse trancher (ce n'est pas si évident, un dessin peut aider).

4) Facultatif : démontrer que cette matrice convient bien


A quelle étape y a-t-il un problème ?

[Bruno0693]

Merci, Garf, pour ta réponse.

Voilà ce que j'ai fait en m'inspirant de ce que tu m'écris. Je t'avoue, cependant, que c'est encore assez flou dans ma tête...

On a donc une forme quadratique telle que .

On pose M la matrice :

1 -3

-3 13

1) Trouver les valeurs propres de M. Une équation du second degré à résoudre, rien de plus. D'accord, il y a des racines, mais ce n'est pas là que ça doit coincer.

Le polynôme caractéristique de M est : .

Les valeurs propres de M sont : et .





2) Trouver un vecteur propre pour chaque valeur propre. Il suffit de bien poser les choses.


Le sous-espace propre est engendré par .

Le sous-espace propre est engendré par .


3) On a ainsi une nouvelle base de R^2. Soit P la matrice de passage de la base canonique à cette nouvelle base. Instinctivement, on peut penser que T=P ou T=P^(-1). Je te laisse trancher (ce n'est pas si évident, un dessin peut aider).


Soit P la matrice dans les colonnes sont : et .

P est donc la matrice de passage de la base canonique de R² dans la base .

Soit a présent X' = (x,y) un vecteur de R^2 exprimé dans la base B.

Alors, les coordonéés X de X' dans la base canonique sont : X = P X'

Soit : .

On trouve alors : .

Comme , posons :





Ainsi, revient à l'équation sous forme canonique :

, qui est l'équation d'une ellipse.

Cela dit, je ne suis pas sûr de comprendre ce que j'ai fait...

En fait, si je comprends bien, l'équation est l'équation d'une ellipse DANS LA NOUVELLE BASE B ??


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PS : Y at-t-il une fonction pour écrire des matrices en TeX sur ce forum ? Les environnement \begin {pmatrix} \end {pmatrix} ainsi que \begin {array} \end {array} ne semblent pas fonctionner...

[Garf]

Je viens de me rendre compte qu'il y avait un raisonnement un peu plus propre. La matrice initiale M étant symétrique, on peut la diagonaliser en prenant P orthogonale (pas de calcul monstrueux ici : il suffit de normaliser les vecteurs propres). On a alors t(P)=P^(-1).

X=P.X'
Or Gamma = {X tels que t(X).M.X=4} = {X tels que X=P.X' et t(X').t(P)M.P.X'=4} = {X tels que X=P.X' et t(X').D.X'=4}, D diagonale.
P^(-1) (Gamma) = {P^(-1).X : X=P.X' et t(X').D.X'=4} = {X' : t(X').D.X'=4}

Donc P^(-1) (Gamma) a bien une équation sous forme canonique.
Par rapport à ce que tu as fait avant :
* 1) et 2) : OK
* 3) : on ne demande pas l'équation explicite dans la nouvelle base (les deux VP étant positives, c'est celle d'une ellipse). ce que j'ai fait, rédigé un peu plus proprement, suffit.

EDIT : pour le LaTeX, tu peux aller voir l'aide (sujet épinglé dans le sous-forum Test) ; j'utilise la commande \array pour les matrices.

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Soit le lieu géométrique d'équation : . .

On me demande de montrer qu'il existe un isomorphisme tel que admette une équation sous forme canonique. On demande également d'expliciter .

Tu réduis la forme quadratique en carrés par la méthode de Gauss, ce qui te permet de mettre l'équation de sous la forme
D'où l'isomorphisme voulu .

[Bruno0693]

Merci pour vos réponses.

J'ai encore du mal à bien comprendre.

Le problème c'est que cet exercice va un peu au-delà de mon niveau actuel mais, d'après le prof, on devrait néanmoins pouvoir à peu près le résoudre.

Tout ce que je connais sur le sujet ce sont la définition des formes quadratiques et une méthode de décomposition de Gauss. Je ne connais donc pas, par exemple, les matrices orthogonales ou la manière de voir s'il s'agit d'une conique d'après les signes des valeurs propres.

Je voudrais continuer la discussion en vous faisant part de remarques supplémentaires :

>> A propos du message de Garf :

1° Concernant l'étape 3, pourrais-tu me dire si l'expression que j'ai trouvée à la fin : est bien une équation d'une ellipse DANS LA (nouvelle) BASE B ?

2° Je n'arrive plus à te suivre quand tu écris " P^(-1) (Gamma) = {P^(-1).X : X=P.X' et t(X').D.X'=4} = {X' : t(X').D.X'=4}. Donc P^(-1) (Gamma) a bien une équation sous forme canonique. "

Je ne comprends pas comment tu arrives à conclure, à partir de l'expression de P^- (Gamma) (image réciproque de Gamma par l'endomorphisme P), que P^-(Gamma) a bien une équation sous la forme canonique.

Pourrais-tu m'expliquer cela un peu plus en détail ?



>> A propos du message de God's Breath

Je crois qu'il y a une confusion sur . Je ne sais pas si tu emploies cette notation dans le sens d'application réciproque de T ou dans le sens d'image réciproque de par T.

D'après l'énoncé, est bien une image réciproque. Dans la suite je noterai pour l'image réciproque, afin qu'il n'y ait pas de malentendu.

Je ne suis pas sûr de suivre ton raisonnement :

Soit une forme quadratique , telle que . On suppose que est définie positive.

Après une décomposition de Gauss, on obtient alors quelque chose comme : .

Supposons qu'on appelle .

D'après ce que tu dis (si j'ai bien compris), l'application linéaire , telle que est telle que admettrait une équation sous forme canonique (ce qui est demandé dans l'énoncé).

Or, .

Mais et je ne vois pas comment on pourraît arriver à une équation canonique...


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Merci d'avance pour vos réponses.

[God's Breath]

>> A propos du message de God's Breath

Je crois qu'il y a une confusion sur . Je ne sais pas si tu emploies cette notation dans le sens d'application réciproque de T ou dans le sens d'image réciproque de par T.

Je ne suis pas sûr de suivre ton raisonnement :

Soit une forme quadratique , telle que . On suppose que est définie positive.

Après une décomposition de Gauss, on obtient alors quelque chose comme : .

D'après ce que tu dis (si j'ai bien compris), l'application linéaire , telle que est telle que admettrait une équation sous forme canonique (ce qui est demandé dans l'énoncé).

Attention n'est pas définie par , mais par , il faudrait donc inverser cette application pour trouver l'expression de .

Je pose et , et on a et .

L'équation de la conique est et on a, en notant (défini par une équation canonique) :

donc admet bien une équation canonique.

[Bruno0693]

Merci pour ta réponse God's Breath.

J'ai essayé de l'appliquer à ma forme quadratique.

Cette dernière admet une décomposition de Gauss suivante : .

D'où :

Soit l'endomorphisme de R² dont la matrice est, dans la base canonique de R² :

On a, pour , et .

Alors, pour reprendre ton raisonnement :



Ainsi admet une équation sous forme canonique.

--

On demande ensuite de dessiner dans le repère où est la base canonique de R².

Comment fait-on pour cela ? Il faudrait avoir les coordonnées de dans ...

Merci d'avance pour ta réponse.

[God's Breath]

On demande ensuite de dessiner dans le repère où est la base canonique de R2.

Comment fait-on pour cela ? Il faudrait avoir les coordonnées de dans ...

est déquation dans le repère ; ce ne doit pas être bien difficile à dessiner...

[Bruno0693]

est déquation dans le repère ; ce ne doit pas être bien difficile à dessiner...

Si je comprends bien :

- Dans le repère la courbe représentative de est un cercle de centre O et de rayon 1.

- Dans le repère où est la base introduite par (ou , je m'y perds un peu), la courbe représentative de peut être différente du cercle de centre O et de rayon 1 ? C'est toujours une ellipse, mais ce peut être une ellipse non circulaire ?

C'est bien ça ?

Merci.

[God's Breath]

Si je comprends bien :

- Dans le repère la courbe représentative de est un cercle de centre O et de rayon 1.

- Dans le repère où est la base introduite par (ou , je m'y perds un peu), la courbe représentative de peut être différente du cercle de centre O et de rayon 1 ? C'est toujours une ellipse, mais ce peut être une ellipse non circulaire ?

C'est bien ça ?

NON !!!
Il n'y a qu'un repère : .
Dans ce repère :
– est d'équation ;
– est d'équation , c'est un cercle.

Donc est l'image du cercle par .

Tu ne cherches pas un nouveau repère dans lequel l'équation de la courbe serait plus simple (une seule courbe, mais deux équations dans deux repères différents), mais une application qui transforme la courbe en une courbe connue car d'équation simple (deux courbes, donc deux équations, mais dans un seul et même repère).