Le discret et le continu

[inviteef1d34b2]

Bonjour !
Je suis actuellement en maths sup et planche sur un texte extrait d'un conférence de Gustave Choquet "Le continue, le discret...et tout le reste" pour un faire un bref exposé.
> J'aurais voulu savoir si vous pouviez avant tout m'éclairer sur la notion de continue/discret qui reste un peu flou pour moi encore ?
L'auteur donne quelque exemple, en informatique par exemple, les calculateurs analogiques ont été remplacé par les ordinateurs et leur système binaire pour traiter l'information, en maths une intégrale de fonction continue est une limite d'une somme finie de Riemann...
> Auriez vous d'autres exemple qui pourraient m'aide a comprendre cette opposition continue/discret ? Est ce que, en mécanique quantique, la quantification des niveaux d'énergie d'une particule, pourrait être un exemple du discret en physique ?

Mais la ou je ne comprend vraiment plus, c'est quand l'auteur commence a parler de déterminisme (dans la théorie cinétique des gaz et "l'attracteur d'Hénon" en autre ), de fractales ...
> Quel est le rapport avec mes notions de continue/discret ?

Merci beaucoup !!
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[invite0387e752]

jette peut etre un oeil dans l univers des probabilités

[inviteef1d34b2]

Si je me souviens bien, on a la thérorie des probabilitéés discrètes et des probabilité continues oui...Cela dit ca fait super longtemps que j'en ai plus fait de proba...Une précision ?
Je vais faire quelques recherches.

[inviteef1d34b2]

Mais en fait déja, qualqu'un pourrait il m'expliquer clairement ce qu'est le continue et le discret ? En avez vous des illustrations ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Il me semble qu'un ensemble discret est un ensemble sans point d'accumulation.
Un ensemble continu est alors sans doute un ensemble n'ayant que des points d'accumulation.

Attends des confirmations.

[inviteef1d34b2]

Ok, je vois plus ou moins. Je pense qu'a la base c'est un concept mathématique, comme tu semble l'expliquer (bien que "point d'accumuluation me semble un peu flou encore, je vais faire qq recherches )
Je voulais juste vous soumettre ce que je crois avoir compris...
L'auteur parle de déterminisme (et donc effectivment, de probabilité). J'ai cherché et le déterminisme une notion selon laquelle chaque évènement est déterminé par un principe de causalité scientifique....Donc je suppose que l'hégémonie du déterminisme a été fortement touché par le developpement des probabilités qui ne prévoit pas avec une infinie précision "l'issue d'un évenement" mais se contente d'indiquer quellle issue est la plus plausible sans pour autant qu'elle se réalise.
Mais une grande question me taraude...quelle est le rapport avec ce "continue et discret" qui m'occupe ? Il dit pourtant que les probabilités sont le meilleur intermédiaire entre le continue et le discret...je ne vois pas dans quelle mesure !?

[invitebb921944]

Bon je vais essayer de te donner une approche plus ou moins intuitive du concept.
Un ensemble discret, c'est un ensemble dans lequel on doit faire un "saut" pour aller d'un élément à un autre.
Un ensemble continu, c'est un ensemble qui vérifie : peu importe deux points que je prends dans mon ensemble, j'arriverais à trouver un point entre les deux qui appartiennent à mon ensemble. Ainsi, il n'y a pas besoin de sauter pour passer d'un point à un autre, on peut "glisser" sur les points intermediaires, on reste ainsi toujours dans notre ensemble.

Pour les probas, j'ai pas trop envie de me lancer dans une explication vaseuse d'un sujet que je n'aime pas vraiment !

[Médiat]

Un ensemble discret, c'est un ensemble dans lequel on doit faire un "saut" pour aller d'un élément à un autre.
Un ensemble continu, c'est un ensemble qui vérifie : peu importe deux points que je prends dans mon ensemble, j'arriverais à trouver un point entre les deux qui appartiennent à mon ensemble.

Il me semble qu'avec ces définitions l'ensemble des rationnels est à la fois discret (il faut bien "sauter" les irrationnels) et continu puisque dense (d'ailleurs cette définition de "continu" est celle de la densité au sens d'une relation d'ordre (et non de la densité au sens de la topologie)

[inviteef1d34b2]

Cette relation qu'il fait entre déterminisme et probabilité ca me perturbe vraiment. Quelqu'un d'autre aurait une idée ?

Il dit aussi que "Le début du 19 eme siècle a vu, avec Laplace, le triomphe du continue que l'on pouvait alors avec raison considérer comme le meilleur support du déterminisme" Dans quelle mesure ?

[inviteef1d34b2]

Il me semble qu'avec ces définitions l'ensemble des rationnels est à la fois discret (il faut bien "sauter" les irrationnels) et continu puisque dense (d'ailleurs cette définition de "continu" est celle de la densité au sens d'une relation d'ordre (et non de la densité au sens de la topologie)

Je vois ce que tu veux dire. Mais la définition "intuitive" de Ganash m'a pas mal aidé ..Et je commence a cerner cette distinction continue discret du point de vue mathématique.

[invitebb921944]

Il me semble qu'avec ces définitions l'ensemble des rationnels est à la fois discret (il faut bien "sauter" les irrationnels) et continu puisque dense (d'ailleurs cette définition de "continu" est celle de la densité au sens d'une relation d'ordre (et non de la densité au sens de la topologie)

Voui c'est vrai tu as raison.
Au sens de la topologie, il me semble qu'un ensemble est discret si pour tout point de mon ensemble, je peux trouver une boule centrée en ce point et de rayon assez petit pour qu'elle ne contienne aucun autre point de mon ensemble. (en fait c'est mon prof de géo diff qui nous a dit ça).
Ainsi, R ne serait pas discret et Q non plus.

[invite35452583]

Pour commencer :
la notion d'"espace discret" existe en toute généralité, quand on a un espace on peut dire s'il est discret ou non, mais pas la notion d'"espace continu" (pas à ma connaissance en tout cas).
Même quand ça un sens un espace peut être non discret et non continu, l'exemple le plus classique étant Q ordonné de manière usuelle.

Les notions sont plus simples à voir d'abord pour un ensemble totalement ordonné :
discret pour tout point a qui n'est le plus petit ni le plus grand alors il existe deux points b et c tels que b<a<c et tels qu'il n'existe aucun point strictement compris entre b et c autre que a. (topologiquement cela revient à dire que {a} est ouvert pour la topologie de l'ordre). Si a est le plus petit élément la condition devient il existe c tel qu'il n'y ait rien entre a et c, si a est le plus grand il existe b tel qu'il n'y ait rien entre b et a.
Des exemples classiques sont les ensembles totalement ordonnés finis, N, Z.
On a donc intuitivement une notion de saut comme l'indiquait Ganash.

La notion directement opposé est dense (dans le sens des ensembles ordonnés comme l'a rappelé Médiat) : entre deux points il existe toujours au moins un point strictement compris entre les deux.
exemples : Q, R
"non discret" est différent de "dense", par exemple Z ^- U Q⁺ n'est ni discret ni dense.
A-t-on encore des possibilités de comportement par saut avec des espaces denses ? Oui :
l'application Q⁺->Q⁺ défini par f(x)=0 si x²<2 f(x)=1 si x²>2 (le cas x²=2 n'existe pas) est continue partout. Mais on a néanmoins une sorte de saut que l'on peut voir par le fait que f(Q⁺)={0,1} avec aucun point entre 0 et 1.
De fait il y a des "trous" dans Q. On peut les voir en remarquant que regroupent tous les éléments de Q en deux parties disjointes dont tous les éléments de l'un sont plus petits que ceux de l'autre (ils sont de deux côtés différents d'une sorte de barrière).
Pour éliminer ce type de phénomène il faut exiger la connexité : càd si on a deux parties A et B avec a<b pour tout a dans A et tout b dans B alors il existe soit un plus grand élément à A ou un plus petit élément à B (autrement dit topologiquement au moins un des deux n'est pas ouvert). Plus intuitivement on ne peut pas découper l'espace en deux morceaux, ce qui se voit par le théorème des valeurs intermédiaires :
f : X->X application continue avec X dense et connexe alors entre a et b f prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b). (Il n'y a plus de sauts).

Si on ajoute l'hypothèse technique séparable (il existe une partie dénombrable D tel que tout intervalle ]a,b[ de X continue au moins un élément de D) alors X est en bijection croissante et continue avec un intervalle de R (ce qui réduit à 4 cas selon qu'il y a ou non un plus grand élément ou/et un plus petit élément).

En dimension quelconque continu=+/-
i) totalement non discret (aucun point n'est isolé càd aucun point n'est un ouvert ou de manière équivalente aucune boule n'est réduite à un singleton)
ii) connexe (l'espace ne peut pas découper en plusieurs morceaux)
iii) complétable (en gros il n'existe pas de trou du type de ceux dans Q, R² auquel on ôte un point reste complétable)
Exemple : R, Rⁿ, leurs ouverts connexes sont "continus".

Le point le plus important est en fait le ii) (d'ailleurs il implique i) ) car toute application continue dans R a une image qui est un intervalle (l'image d'un connexe est un connexe or dans R les connexes sont les intervalles).

Voilà pour la partie mathématique.

Exemple de passage du continu au discret : la roulette
on lance une boule, on peut modéliser la surface de celle-ci de manière continue (grâce à un espace "continu"), idem pour la boule, idem pour son mouvement ainsi que celle de la roulette.
La continuité impliquerait que toutes les valeurs comprises entre 0 et 36 soient possibles (y compris 3/5, pi...) néanmoins la boule va s'arrêter dans une des 37 cases allant de l'entier 0 à l'entier 36.

Exemple de passage du continu au discret : la mécanique quantique
le vecteur d'état d'une particule est un élément d'un espace hilbertien (espace ayant toutes les propriétés voulues) mais lorsque celle-ci réagit une mesure indiquera qu'un nombre fini de possibilités. Là il vaudrait mieux qu'un physicien intervienne avant que je ne raconte n'importe quoi.

Dans les deux cas, les probabilités interviennent.

Passage du discret au continu : l'intégrale (de Cauchy)
on découpe l'intervalle d'intégration en un nombre fini d'intervalles et on approxime une aire. En passant à la limite, on définit l'intégrale d'une fonction. En modifiant une des deux bornes, on définit une nouvelle fonction continue (et dérivable).

Passage du discret au continu : le passage de la mécanique quantique à la mécanique du continu
là on approxime des objets (ayant une bonne part de comportement de nature discret, quantification des échanges d'énergie notamment) physiques par un modèle mathématique continu.

Discret->continu ne pose pas trop de problèmes, c'est une approximation ou une limite.

continu->discret
le 1er exemple recèle une part de discontinuité qui permet de passer du continu au discret, les probabilités permettent ce passage.
Des système chaotiques (une petite différence peut engendrer une grande différence dans la suite des évènements) déterministes aboutissent des comportements quasi-aléatoires, eux même recèlent parfois des comportement réguliers (par exemple via des "ttracteurs étranges") qui peuvent être traités de manière déterministe dans certaines conditions...
le 2nd exemple, je laisse un physicien continuer.
Ainsi, passer du continu au discret exige des discontinuités or le déterminisme tout le long d'un processus peut difficilement se le permettre.

[Médiat]

la notion d'"espace discret" existe en toute généralité, quand on a un espace on peut dire s'il est discret ou non, mais pas la notion d'"espace continu" (pas à ma connaissance en tout cas).

Je suis parfaitement d'accord que la notion "d'espace continu" dépende de la structure disponible sur cet espace (relation d'ordre (dense plutôt que continu), topologie ou espace métrique.
Mais pour les espaces discrets, je suis moins d'accord, certes les 3 structures citées ci-dessus donnent la même notion d'espace discret, mais si on ne dispose d'aucune de ces trois structures ? Voire si on dispose de plusieurs structures (IR est discret lorsqu'il est muni de la topologie discrète )

[invite35452583]

mais si on ne dispose d'aucune de ces trois structures ?

Quand un passionné de topologie parle d'espace il est toujours sous-entendu "espace topologique", non mais.