Convergence uniforme de suites de fonctions

[invite847a6aeb]

Bonjour à tous,

J'ai quelques petits soucis pour prouver la convergence uniforme de quelques suites de fonctions.

Tout d'abord :

pour

J'ai prouvé la convergence simple vers la fonction nulle sur .
J'ai également prouvé la non convergence uniforme sur avec la suite numérique

Maintenant j'aimerais trouver un intervalle sur lequel il y a convergence uniforme.
J'ai essayé de trouver le sens de variation grâce à la dérivée :
Qui est positive ou nulle sur donc il y a convergence uniforme sur cet intervalle.
Mais mon intuition est qu'il y a convergence sur tout intervalle où . En effet le "problème" est en 1 et en regardant les graphes de différentes fonctions on remarque une bosse glissante vers 1 ce qui confirme mon intuition.
Pourtant je n'arrive pas à le démontrer.

Quelqu'un peut il me guider s'il vous plait?
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[God's Breath]

Bonjour,

Tout d'abord :

pour

Mais mon intuition est qu'il y a convergence sur tout intervalle où . En effet le "problème" est en 1 et en regardant les graphes de différentes fonctions on remarque une bosse glissante vers 1 ce qui confirme mon intuition.
Pourtant je n'arrive pas à le démontrer.

Il suffit de majorer le sinus par 1 sur [0,a] pour obtenir des majorations convenables de sur cet intervalle.
Le sinus ne sert qu'à faire converger la suite .

[Flyingsquirrel]

Salut

pour

J'ai prouvé la convergence simple vers la fonction nulle sur

Je ne vois pas comment la suite de fonction peut converger vers la fonction nulle sur alors que les suites divergent pour ?

[invite847a6aeb]

C'était tellement simple ...

Merci beaucoup God's Breath.


Bon ben au suivant

J'ai le même problème avec la suite de fonctions :

sur

Là encore j'ai la convergence simple vers la fonction cosinus sur .
La non convergence uniforme sur avec la suite
Et je voudrais montrer qu'il y a convergence sur tout intervalle avec .

J'ai introduit la fonction :


Mais après j'avoue que je sèche complètement. La dérivée ne donne rien et je vois pas bien comment je pourrais mon expression.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite847a6aeb]

Salut

Je ne vois pas comment la suite de fonction peut converger vers la fonction nulle sur alors que les suites divergent pour ?

En effet, je me suis trompé dans l'énoncé de ma fonction, c'est en fait la fonction :


Merci Flyingsquirrel

[God's Breath]

sur
...
J'ai introduit la fonction :
.

Dans , as-tu essayé
– d'utiliser la formule sur ?
– de majorer la différence de cosinus par le théorème des accroissements finis?
– d'utiliser le fait que la fonction cosinus est lipschitzienne ?

[invite847a6aeb]

Dans , as-tu essayé
– d'utiliser la formule sur ?
– de majorer la différence de cosinus par le théorème des accroissements finis?
– d'utiliser le fait que la fonction cosinus est lipschitzienne ?

Non

Mais je vais essayer tout de suite.

[invite847a6aeb]

En utilisant la formule :


J'obtiens :


Je peux alors majorer le premier sinus par 1, pour obtenir :

(j'arrive pas à trouver comment on écrit inférieur ou égal ).

Bref, maintenant si je fais tendre n vers l'infinie, on peut prendre un équivalent de sin en 0.


qui tends vers 0.
Donc quelque soit x, converge vers 0 donc converge uniformement sur .

Mais à ce moment là est ce qu'on est vraiment obligé de passer par un intervalle [-a;a]?
Et si c'est vrai pour tout a>0 alors est ce qu'on peut dire que c'est vrai sur R tout entier?

[God's Breath]

Bref, maintenant si je fais tendre n vers l'infinie, on peut prendre un équivalent de sin en 0.


qui tends vers 0.
Donc quelque soit x, converge vers 0 donc converge uniformement sur .

L'utilisation d'un équivalent n'a jamais permis d'obtenir une majoration. J'aimerais bien voir une preuve rigoureuse de ce que tu avances...

Mais à ce moment là est ce qu'on est vraiment obligé de passer par un intervalle [-a;a]?
Et si c'est vrai pour tout a>0 alors est ce qu'on peut dire que c'est vrai sur R tout entier?

Non, la convergence uniforme sut tout intervalle n'est pas équivalente à la convergence uniforme sur ; la suite que tu es en train d'étudier en est une magnifique illustration.

[invite847a6aeb]

Or on sait que la fonction cosinus est 1-lipschitzienne donc on a :







or on a choisi donc :



d'où :



Je pense que c'est rigoureux cette fois.

En tout cas merci God's Breath pour toutes ces indications.

[Garf]

La majoration précédente était bonne (tu viens d'ailleurs de la redémontrer). Simplement, au lieu de parler d'équivalent, il suffisait d'utiliser l'inégalité |sin(x)| =< |x| pour tout x réel.

Pour les symboles d'inégalité, les commandes sont \leq et \geq, si je ne m'abuse.


EDIT : sinon, la conclusion (limite de gn(x) en l'infini nulle) est insuffisante : n'oublie pas que tu cherches à démontrer une convergence uniforme et non une convergence simple. Dit juste que l'inégalité précédente est valable pour tout x dans [-a,a], donc il y a convergence uniforme sur cet intervalle.