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Convergence uniforme



  1. #1
    amwus

    Convergence uniforme


    ------

    Est ce que qqun peut m'expliquer de façon pas trop compliquée ce qu'est exactement la convergence uniforme ? Enfin, j'ai compris plus ou moins mais ce n'est pas clair.

    Et puis la définition dit que fn -> f uniformément sur A si

    sup{d(fn(a),f(a)):a€A}

    Mais comment fait on pour calculer cette sup ? Je ne vois pas comment, grâce à cette définition, on peut démontrer qu'une fonction converge uniformément ou pas...

    Si qqun pouvait m'éclairer...

    Merci !

    -----
    "Black holes are where God divided by zero"

  2. #2
    matthias

    Re : Convergence uniforme

    Citation Envoyé par amwus
    Et puis la définition dit que fn -> f uniformément sur A si

    sup{d(fn(a),f(a)):a€A}
    si le sup tend vers 0 quand n tend vers l'infini, sinon ça n'a pas de sens.

    Citation Envoyé par amwus
    Mais comment fait on pour calculer cette sup ? Je ne vois pas comment, grâce à cette définition, on peut démontrer qu'une fonction converge uniformément ou pas...
    Dans les cas très simples, tu peux calculer la borne supérieure.
    Par exemple:
    Sur R+,
    fn(x) = nx sur [0;1/n]
    fn(x) = 1 si x > 1/n

    f(0) = 0
    f(x) = 1 si x > 0

    Pour tout x fn(x) tend vers f(x), mais la convergence n'est pas uniforme car le sup vaut toujours 1.

    Sinon, il t a des cas où tu peux majorer facilement le sup par une suite qui tend vers 0.

  3. #3
    evariste_galois

    Re : Convergence uniforme

    Salut,

    Citation Envoyé par amwus
    Est ce que qqun peut m'expliquer de façon pas trop compliquée ce qu'est exactement la convergence uniforme ? Enfin, j'ai compris plus ou moins mais ce n'est pas clair.
    Dire qu'une suite de fonctions réelles Fn:I->R converge uniformément vers une fonction réelle F:I->R peut s'interpéter graphiquement: Etant donné le graphe de F, si on se donne un réel strictement positif e, et si on considère le graphe de F déplacé d'une longueur e vers le bas, et d'une longueur e vers le haut (on obtient donc une bande de largeur 2e autour du graphe de F), alors il existe un entier naturel N tel que, pour tout n>N, le graphe de Fn soit situé dans la bande de largeur 2e autour du graphe de F.

    La convergence uniforme entraine évidemment la convergence simple , i.e pour tout x dans I, Fn(x) tend vers F(x), mais en plus la convergence a lieu "à la même vitesse" pour tout x dans I.

    Dans la définition de la convergence uniforme, dire que sup{d(Fn(x),F(x))}<e est une façon commode d'exprimer que pour tout x dans I, d(Fn(a),F(a))<e.

    Généralement, pour montrer qu'il y a convergence uniforme, on montre d'abord qu'il y a convergence simple, auquel cas on trouve une limite simple qui est la seule limite uniforme possible, si elle existe. Ensuite, on fixe un entier naturel n, et on essaie de trouver le sup de d(Fn(x),F(x)) pour x parcourant I. Si possible, on trouve alors une expression dépendant uniquement de n. Si cette expression tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini, il y a bien convergence uniforme, de limite uniforme la limite simple déjà trouvée.

    Cordialement.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  4. #4
    Quinto

    Re : Convergence uniforme

    Je n'ai pas lu ce qui a &#233;t&#233; dit mais je ne doute pas que ca ai &#233;t&#233; tr&#232;s bien fait.
    Cependant, voici mon point de vu:

    On peut voir une fonction comme un ensemble de couples (x,f(x)) et on peut voir une suite de fonctions comme une suite d'ensemble de tels couples.
    La convergence simple pose rarement de probl&#232;me. En effet, on fixe un x, et on ne le fait plus bouger. Maintenant on regarde la suite (fn(x)), c'est une suite de nombres r&#233;els et on sait l'&#233;tudier. Si on fait ca pour tout x on &#233;tudie la convergence simple.
    C'est une d&#233;finition tr&#232;s naturelle, on peut aussi se la repr&#233;senter ainsi (C'est une vision que j'aime beaucoup):
    Si une suite de couples (x_n,y_n) converge vers (x,y), c'est &#233;quivalent &#224; dire que x_n converge vers x et y_n converge vers y.
    Si on fait la meme chose avec (x1_n,x2_n,x3_n) qui tend vers (x1,x2,x3) on arrive &#224; la m&#234;me conclusion.
    Et ainsi de suite.
    Si on regarde maintenant une fonction, comme une suite (ft_n) avec t qui varie sur un intervalle I, alors on dit que ft_n converge vers ft, si pour tout t, ft_n converge vers ft.
    Exactement comme dans le cas des t-uples, sauf que cette fois ci, c'est un genre de t-uple avec t=infini (pas n&#233;cessairement d&#233;nombrable d'ailleurs)

    La convergence uniforme peut parraitre moins naturelle, mais l'est tout autant.
    On aime dire qu'une suite d'objets (A_n) tend vers l'objet A, si la distance entre les 2 tend vers 0.
    Ici on aimerait que l'objet soit une fonction et d&#233;finir une distance pour se servir de cette d&#233;finition.
    La distance est donc le sup de la norme de la diff&#233;rence, comme tu as vu dans ton cours. Ainsi ici l'objet est la fonction en elle m&#234;me, et pas vraiment la valeur qu'elle prend.
    Ainsi il faut que la distance sur l'ensemble des fonctions que l'on ai cr&#233;&#233; ne soit pas directement reli&#233;, ou alors pas trop, aux valeurs prisent par la fonction. Il faut que celle ci soit le plus possible propre &#224; la fonction. (&#233;videmment comme une fonction est d&#233;finie comme un ensemble de valeurs prisent en certain point, c'est pas n&#233;cessairement &#233;vident de faire accepter ce point de vue imm&#233;diatement...)
    Il se trouve que c'est le cas de la convergence uniforme. On donne une norme a une fonction, et c'est cette norme qui nous permet de cr&#233;er la distance.
    Ainsi fn converge vers f si ||fn-f|| tend vers 0.
    Avec cette d&#233;finition, la convergence ne d&#233;pend plus de chaque x, mais d&#233;pend de toutes les valeurs prisent dans leur globalit&#233;. Pas une en particulier.

    Lorsque l'on avait nos t-uples pr&#233;c&#233;demment, on pouvait faire la m&#234;me chose, et il se serait alors trouv&#233; que, les deux d&#233;finitions &#233;taient &#233;quivalentes (en g&#233;n&#233;ral c'est fait en 2e ann&#233;e ou en fin de sup si on a le temps). Dans le cas de la cv uniforme et de la cv simple, ce n'est plus vrai, on a uniquement l'implication:
    cv uniforme implique cv simple (sur l'ensemble consid&#233;r&#233;, &#233;videmment).
    Le meilleur exemple &#233;tant celui de la suite de fonctions (f_n(x)=x^n) d&#233;finie sur [0,1].
    Elle converge simplement vers la fonction f: nulle sur (0,1) et qui vaut 1 en 1.
    Cependant la norme de f-fn est toujours 1, et ce, quelque soit n.

    A+
    Dernière modification par Quinto ; 24/01/2006 à 23h52.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    amwus

    Re : Convergence uniforme

    Hum, d'abord merci pour toutes ces explications, c'est sympa ! Maintenant, voir si j'ai bien compris lol !

    Donc, en gros, la fonction de base f(x) ne bouge pas elle alors ? Et dans ce cas, les fonctions fn(x) convergent vers f(x) si pour tout x, la distance entre les deux tend vers 0, pour tout point ?

    Est ce que tu pourrais détailler un peu pour la convergence uniforme pour f_x = x^n ? Je visualise bien le graphe d'une telle situation, on a x, x^2, x^3 ...
    Et dans ce cas, fn converge donc sur quoi exactement ? Rolalala c qd meme pas tout simple à piger !

    Je précise que je suis en première année de fac en sciences physiques...

    Merci encore !
    "Black holes are where God divided by zero"

  7. #6
    eirtemoeg

    Re : Convergence uniforme

    Attention, la convergence concerne une application ( suivant un filtre ), une fonction ou une s&#233;rie ; la convergence uniforme concerne une famille de fonctions

  8. #7
    martini_bird

    Re : Convergence uniforme

    Salut,

    Citation Envoyé par amwus
    Est ce que tu pourrais d&#233;tailler un peu pour la convergence uniforme pour f_x = x^n ? Je visualise bien le graphe d'une telle situation, on a x, x^2, x^3 ...
    Et dans ce cas, fn converge donc sur quoi exactement ? Rolalala c qd meme pas tout simple &#224; piger !
    d&#233;finie disons sur [0,1] converge ponctuellement vers , c'est-&#224;-dire que pour tout , .

    Par contre converge uniform&#233;ment vers uniquement sur [0,1[.

    D'ailleurs une limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue (c'est notamment &#224; &#231;a que sert la continuit&#233; uniforme).

    Cordialement.

  9. #8
    rvz

    Re : Convergence uniforme

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    [TEX]Par contre converge uniformément vers uniquement sur [0,1[.
    Argh !
    [TEX]sup_{[0,1[}(f_n-f)=1/TEX]
    pour tout n. Et donc, f_n ne converge pas vers f uniformément sur [0,1[.
    Par contre, f_n converge uniformément sur tout intervalle [0,a], avec a <1.

    Citation Envoyé par martini_bird
    D'ailleurs une limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue (c'est notamment à ça que sert la continuité uniforme).
    Tout à fait, et je suis étonné que tu sois le seul à mentionner cette propriété, qui est l'une des raisons essentielles de la convergence uniforme. Comme on peut le voir ici, c'est faux avec la convergence simple (cf sur [0,1], f n'est pas continue).

    Cela dit, en général, il est plus facile de voir vers quoi une suite de fonctions converge simplement vers, disons f pour changer . Après, si tu veux voir si la convergence est uniforme, tu as déjà identifié la seule limite possible : C'est forcément f ! Notamment, si f_n -> f simplement, f_n est une suite de fonctions continues, et f est discontinue, tu es sûr que f_n ne tend pas vers f uniformément.

    __
    rvz

  10. #9
    invite986312212
    Invité

    Re : Convergence uniforme

    Tout à fait, et je suis étonné que tu sois le seul à mentionner cette propriété, qui est l'une des raisons essentielles de la convergence uniforme. Comme on peut le voir ici, c'est faux avec la convergence simple (cf sur [0,1], f n'est pas continue).
    c'est une propriété particulièrement utile dans l'étude des séries entières.

    Une autre propriété résultant de la convergence uniforme de vers : Si et si alors on a . Ce n'est pas nécessairement vrai dans le cas de la convergence ponctuelle.

  11. #10
    martini_bird

    Re : Convergence uniforme

    Citation Envoyé par rvz
    Argh !
    [TEX]sup_{[0,1[}(f_n-f)=1/TEX]
    pour tout n. Et donc, f_n ne converge pas vers f uniformément sur [0,1[.
    Par contre, f_n converge uniformément sur tout intervalle [0,a], avec a <1.
    Oups! Je crois que j'ai droit au

    Enfin je voulais bien sûr dire que converge vers f sur tout compact de [0,1[.

  12. #11
    Quinto

    Re : Convergence uniforme

    Citation Envoyé par rvz
    Tout à fait, et je suis étonné que tu sois le seul à mentionner cette propriété, qui est l'une des raisons essentielles de la convergence uniforme. Comme on peut le voir ici, c'est faux avec la convergence simple (cf sur [0,1], f n'est pas continue).
    Mais une limite simple converge localement uniformément et la limite simple de fonctions continue est continue sur un ensemble dense, dès que l'ensemble de départ est complet et que l'espace d'arrivé est métrique.

    Ici, le seul point de non continuité est 1.
    A+

  13. #12
    amwus

    Re : Convergence uniforme

    Oki ! Merci beaucoup pour vos réponses ! Je pense que j'ai compris ! Thanks !
    "Black holes are where God divided by zero"

  14. #13
    rvz

    Re : Convergence uniforme

    Citation Envoyé par Quinto
    Mais une limite simple converge localement uniformément
    Qu'est ce que tu veux dire par là ?
    L'uniformité ne me semble pas être une propriété locale

    __
    rvz

  15. #14
    Quinto

    Re : Convergence uniforme

    Pourtant aussi surprenant que cel&#224; puisse &#234;tre, c'est bien le cas

  16. #15
    rvz

    Re : Convergence uniforme

    Ce qui veut dire ? Je ne comprends toujours pas. Qu'est ce que la convergence localement uniforme ?

    __
    rvz

  17. #16
    matthias

    Re : Convergence uniforme

    Cela signifie convergence uniforme sur tout compact.

  18. #17
    eirtemoeg

    Re : Convergence uniforme

    Il y a des th&#233;or&#232;mes qui r&#233;gissent ces fonctions : comme celui de la "double limite", quand l'ensemble d'arriv&#233;e est localement compact

  19. #18
    Quinto

    Re : Convergence uniforme

    Citation Envoyé par matthias
    Cela signifie convergence uniforme sur tout compact.
    Si c'est ca, ce n'est pas ce que j'ai voulu exprimer, et il y'a donc confusion sur la terminologie:

    fn une suite de fonctions de X vers Y. X est complet, Y est métrique.
    fn converge simplement vers f sur X. Notons K l'ensemble des points de continuité de f.
    On peut toujours trouver des ouverts dont K est l'intersection (dénombrable), sur lesquels la convergence est en fait uniforme.
    En fait K est un dense dans X.
    Pour plus d'infos, cf wikipedia.
    A+

  20. #19
    rvz

    Re : Convergence uniforme

    Ah d'accord !
    C'est une cons&#233;quence du th&#233;or&#232;me de Baire, non ?
    D'o&#249; tu tires cette terminologie ? C'est plutot trompeur, je trouve
    D'ailleurs, je pense qu'on peut trouver des contre-exemples &#224; ceci avec la d&#233;finition que prenait Matthias, non ?

    __
    rvz

  21. #20
    Quinto

    Re : Convergence uniforme

    Salut,
    la terminologie est celle couramment employ&#233;e. On la retrouve dans toute bonne preuve sur le sujet.
    C'est effectivement une cons&#233;quence du th&#233;or&#232;me de Baire, et ce qui est int&#233;ressant de remarquer est que si f est une fonction d&#233;rivable sur R, alors gn toutes d&#233;finies sur R par:
    gn(x)=n[f(x+1/n)-f(x)] converge simplement vers f, notamment f est continue sur un G delta dense. Th&#233;or&#232;me de Darboux....

    Avec la terminologie de Matthias, mon &#233;nonc&#233; est clairement faux, il suffit de ramener l'exemple classique de x^n &#224; un exemple o&#249; la singularit&#233; est en plein milieu de notre intervalle.
    Par exemple
    fn(x)=x^n si 0<x<=1
    fn(x)=le sym&#233;trique sur 1<=x<2
    le pic va apparaitre en x=1, et clairement sur tout compact qui contient 1 ca ne marchera pas.
    A+

  22. #21
    rvz

    Re : Convergence uniforme

    Ah oui &#233;videmment, j'aurais du r&#233;fl&#233;chir avant de poster

    Au fait, tu veux bien me rappeler comment on d&#233;montre ton r&#233;sultat avec le th&#233;or&#232;me de Baire ? (j'ai dit &#231;a dans le post d'avant parce que c'est un vague souvenir de l'agreg, mais je ne sais plus comment le d&#233;montrer... )
    Quels sont les ensembles &#224; consid&#233;rer ?

    __
    rvz, qui perd la m&#233;moire !

  23. #22
    Quinto

    Re : Convergence uniforme

    Grosso modo les ensembles sont ceux dont la distance d(fp(x),fq(x)) est inf&#233;rieure &#224; 1/k (ou une suite d&#233;croissante vers 0 en fonction de k, mais 1/k marche bien)
    Ils sont ferm&#233;s tu en fais l'union, tu te retrouves avec X au complet, tu appliques Baire, tu fais 2-3 fois ce genre de trucs et tu arrives &#224; montrer qu'il existe toujours un ouvert non vide (corollaire de Baire) dense, tu r&#233;appliques le th&#233;or&#232;me et tu as le r&#233;sultat.
    Voici sch&#233;matiquement l'id&#233;e.
    Sur Wikip&#233;dia la preuve y est faite dans le cas r&#233;el:
    Limite simple de Banach
    Sinon j'ai un pdf sur le sujet.
    A+

  24. #23
    invite986312212
    Invité

    Re : Convergence uniforme

    Citation Envoyé par Quinto
    Avec la terminologie de Matthias, mon énoncé est clairement faux, il suffit de ramener l'exemple classique de x^n à un exemple où la singularité est en plein milieu de notre intervalle.
    Par exemple
    fn(x)=x^n si 0<x<=1
    fn(x)=le symétrique sur 1<=x<2
    le pic va apparaitre en x=1, et clairement sur tout compact qui contient 1 ca ne marchera pas.
    A+
    l'exemple de x^n sur [0,1] (qui est compact) suffit à montrer que la compacité de l'ensemble de départ n'entraîne pas la convergence uniforme. Il y a donc entre la convergence simple et la convergence uniforme, la convergence uniforme sur tout compact. Attention à la confusion avec la continuité uniforme qui elle, est assurée sur tout compact dès lors que la fonction est continue.

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