Bonjour
J'ai une fonction f continue de IR dans C de carré intégrable sur IR, et je dois montrer l'existance d'une suite de fonction (fn) continue a support compact (ie il existe un segment de IR en dehors duquel f est nulle), qui converge en moyenne quadratique vers f.
J'ai essayé de prendre fn(x)=f(x) sur [-n,n] affine sur [n,n+1/n] et nulle ensuite, mais je n'arrive pas à montrer la convergence quadratique vers f...
Si vous avez des idées...
merci!
Eric
Personne n'a d'idées?
Salut. Avec des mots savants ce qu'on te démontre de montrer c'est que les fonctions continues à support compacts sont denses dans L^2(R)
Je ne crois pas que ça se fasse de la manière que tu as commencé mais plutôt avec de la convolution si mes souvenirs sont bons. Tu as vu la convolution ?
Ta méthode ne me semble pas aboutir puisque à chaque fois la norme 2 de f_n-f (qui doit tendre vers 0) dépend de la valeur de f au point n et -n ; et cette valeur peut faire n'importe quoi.
Salut,
ça peut se démontrer avec des fonctions étagées (en escalier) sn avec sn(x)→f(x). Un coup de convergence dominée donne le cas où f est réelle >0 car. Le cas complexe s'en déduit.
Cordialement.
En fait ca marche en prenant une fonction qui fait 1 entre
[-n,n] et décroissante affine vers 0 sur [n,n+1], et en la multipliant ensuite par f. la norme 2 est majorée par celle de f, qui tend bien vers 0 car f^2 est intégrable.
Merci
Eric
Heu, oui mais nan: il n'y a pas de raisons pour que la suite des fonctions en escalier soient à support compact il me semble...Envoyé par martini_bird
Eric
Je comprends pas ça. Il faut bien regarder la norme 2 de f_n-f non ? Et celle là j'ai bien l'impression qu'il n'y a pas de raison qu'elle tende vers 0, imagine que f fasse n'importe quoi au point d'abscisse +/- n ...
Salut,
ok, en fait, on commence à montrer que l'ensemble des fonctions étagées dont le support est de mesure finie est dense dans L². Puis il suffit de prendre g à support compact telle que g=s sauf sur un ensemble de mesure inférieure à
Tout ceci est dans le Rudin et ça marche pour Lp,
Cordialement.
Bah en détaillant, ca fait: (je me place sur [0,+oo[, mais on fait la même chose sur ]-oo,0])
N2(fn-f)^2=int(abs(fn-f)^2, de n à +oo)<=int(abs(f)^2, de n à +oo) car sur cet intervalle, fn est le produit de f par une fonction inférieur à 1. Or int(abs(f)^2, de n à +oo) tend vers 0 car f est de carré intégrable.
Donc lim N2(fn-f)=0
Eric
PS pour Martini_Bird, ce que tu di est surement vrai, mais ca me parait légerement plus compliqué, surtout que je ne sais pas ce qu'est une mesure
Tu peux remplacer "mesure" par "longueur".PS pour Martini_Bird, ce que tu di est surement vrai, mais ca me parait légerement plus compliqué, surtout que je ne sais pas ce qu'est une mesure
salut à tous je suis mayi alex gerard théodore et j aime beuacoup l informatique et surtout la programmation avec le language Java, VBA la criptographie et la programmation réseau. alors je vous prie de m apporter tout votre soutient pour cet idéal que je compte poursuivre presque toute ma vie durant,,,,, à plus à tous et merci déjà...
