[MP] Convergence de suites de fonctions
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[MP] Convergence de suites de fonctions



  1. #1
    invite3f53d719

    [MP] Convergence de suite de fonctions


    ------

    Bonjour

    J'ai une fonction f continue de IR dans C de carré intégrable sur IR, et je dois montrer l'existance d'une suite de fonction (fn) continue a support compact (ie il existe un segment de IR en dehors duquel f est nulle), qui converge en moyenne quadratique vers f.

    J'ai essayé de prendre fn(x)=f(x) sur [-n,n] affine sur [n,n+1/n] et nulle ensuite, mais je n'arrive pas à montrer la convergence quadratique vers f...

    Si vous avez des idées...

    merci!

    Eric

    -----

  2. #2
    invite3f53d719

    Re : [MP] Convergence de suite de fonctions

    Personne n'a d'idées?

  3. #3
    invitedf667161

    Re : [MP] Convergence de suite de fonctions

    Salut. Avec des mots savants ce qu'on te démontre de montrer c'est que les fonctions continues à support compacts sont denses dans L^2(R)

    Je ne crois pas que ça se fasse de la manière que tu as commencé mais plutôt avec de la convolution si mes souvenirs sont bons. Tu as vu la convolution ?

    Ta méthode ne me semble pas aboutir puisque à chaque fois la norme 2 de f_n-f (qui doit tendre vers 0) dépend de la valeur de f au point n et -n ; et cette valeur peut faire n'importe quoi.

  4. #4
    invite4793db90

    Re : [MP] Convergence de suite de fonctions

    Salut,

    ça peut se démontrer avec des fonctions étagées (en escalier) sn avec sn(x)→f(x). Un coup de convergence dominée donne le cas où f est réelle >0 car . Le cas complexe s'en déduit.

    Cordialement.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite3f53d719

    Re : [MP] Convergence de suites de fonctions

    En fait ca marche en prenant une fonction qui fait 1 entre
    [-n,n] et décroissante affine vers 0 sur [n,n+1], et en la multipliant ensuite par f. la norme 2 est majorée par celle de f, qui tend bien vers 0 car f^2 est intégrable.

    Merci

    Eric

  7. #6
    invite3f53d719

    Re : [MP] Convergence de suite de fonctions

    Citation Envoyé par martini_bird
    ça peut se démontrer avec des fonctions étagées (en escalier) sn avec sn(x)→f(x).
    Heu, oui mais nan: il n'y a pas de raisons pour que la suite des fonctions en escalier soient à support compact il me semble...

    Eric

  8. #7
    invitedf667161

    Re : [MP] Convergence de suites de fonctions

    Citation Envoyé par Eric78
    En fait ca marche en prenant une fonction qui fait 1 entre
    [-n,n] et décroissante affine vers 0 sur [n,n+1], et en la multipliant ensuite par f. la norme 2 est majorée par celle de f, qui tend bien vers 0 car f^2 est intégrable.

    Merci

    Eric
    Je comprends pas ça. Il faut bien regarder la norme 2 de f_n-f non ? Et celle là j'ai bien l'impression qu'il n'y a pas de raison qu'elle tende vers 0, imagine que f fasse n'importe quoi au point d'abscisse +/- n ...

  9. #8
    invite4793db90

    Re : [MP] Convergence de suite de fonctions

    Citation Envoyé par Eric78
    Heu, oui mais nan: il n'y a pas de raisons pour que la suite des fonctions en escalier soient à support compact il me semble...

    Eric
    Salut,

    ok, en fait, on commence à montrer que l'ensemble des fonctions étagées dont le support est de mesure finie est dense dans L². Puis il suffit de prendre g à support compact telle que g=s sauf sur un ensemble de mesure inférieure à .

    Tout ceci est dans le Rudin et ça marche pour Lp, .

    Cordialement.

  10. #9
    invite3f53d719

    Re : [MP] Convergence de suites de fonctions

    Citation Envoyé par GuYem
    Je comprends pas ça. Il faut bien regarder la norme 2 de f_n-f non ? Et celle là j'ai bien l'impression qu'il n'y a pas de raison qu'elle tende vers 0, imagine que f fasse n'importe quoi au point d'abscisse +/- n ...
    Bah en détaillant, ca fait: (je me place sur [0,+oo[, mais on fait la même chose sur ]-oo,0])

    N2(fn-f)^2=int(abs(fn-f)^2, de n à +oo)<=int(abs(f)^2, de n à +oo) car sur cet intervalle, fn est le produit de f par une fonction inférieur à 1. Or int(abs(f)^2, de n à +oo) tend vers 0 car f est de carré intégrable.

    Donc lim N2(fn-f)=0

    Eric

    PS pour Martini_Bird, ce que tu di est surement vrai, mais ca me parait légerement plus compliqué, surtout que je ne sais pas ce qu'est une mesure

  11. #10
    invite4793db90

    Re : [MP] Convergence de suites de fonctions

    Citation Envoyé par Eric78
    PS pour Martini_Bird, ce que tu di est surement vrai, mais ca me parait légerement plus compliqué, surtout que je ne sais pas ce qu'est une mesure
    Tu peux remplacer "mesure" par "longueur".

  12. #11
    invite4627fbd1

    Re : [MP] Convergence de suites de fonctions

    salut à tous je suis mayi alex gerard théodore et j aime beuacoup l informatique et surtout la programmation avec le language Java, VBA la criptographie et la programmation réseau. alors je vous prie de m apporter tout votre soutient pour cet idéal que je compte poursuivre presque toute ma vie durant,,,,, à plus à tous et merci déjà...

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