[ Maths ] Convergence séries

[inviteb64a2f8e]

Bonjour à tous !

Voilà j'ai une khôlle lundi sur les séries et je suis tombé sur un exercice sans son corrigé malheureusement et je ne sais pas trop comment l'aborder. Voilà l'énoncé :

Soit une suite décroissante de réels positifs non nuls, avec

Question 1 :

Justifier que converge et donner un encadrement de sa limite

=> Je pensais utiliser le TH de convergence monotone car est décroissante et minorée par
Et donc mais ça me parait un peu trop simple comme question :S

Question 2 :

Montrer que la série de terme général converge et donner la valeur de la somme

=> Je voulais utiliser les équivalents mais on tombe sur 0 donc ça ne marche pas. J'ai aussi essayé une majoration mais est décroissante donc ça ne marche pas.

Question 3 :
Montrer que si la série de terme général converge, il en est de même pour la série , ainsi que la série de terme général

Question 4 :
Montrer alors que

Je vous serais reconnaissant de m'aider un petit peu!
Merci beaucoup!

ZimbAwé.
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Question 1 :

Justifier que converge et donner un encadrement de sa limite

=> Je pensais utiliser le TH de convergence monotone car est décroissante et minorée par
Et donc (...)

D'accord.

Question 2 :

Montrer que la série de terme général converge et donner la valeur de la somme

Que vaut ?

[inviteb64a2f8e]

Merci de prendre le temps de me répondre c'est sympa de ta part.

Que vaut ?

Justement, c'est là ou je bloque parce qu'on n'a aucune expression de donc à part avec les équivalents, je ne vois pas comment calculer
Désolé :S

[God's Breath]

Développe bêtement cette somme, et tu vas t'apercevoir qu'il y a beaucoup de simplifications. : l'expression finale est simplissime...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb64a2f8e]

Enlala je suis désolé je suis vraiment stupide, j'ai vu la somme télescopique et j'ai pensé que ça ne marcherait pas (je ne sais moi-même pas pourquoi...)

Donc

Donc converge car converge et

Pour la question 3, je peux utiliser la règle de Riemann ou alors il est plus intéressant d'essayer de majorer et ?

Merci !

[inviteb64a2f8e]

Re bonjour !

J'ai essayé de retravailler sur la question 3) mais je ne comprends pas la philosophie de l'exercice : on a démontré dans la première question que la série de terme général convergeait donc pourquoi essayer de démontrer que la série converge si la série de terme général converge ?

[ericcc]

Dans la première question on a montré que la suite an converge, pas la série...
Dans la 3eme question, il est question de la série de terme général an et de la série de terme général n*an.

[inviteb64a2f8e]

Ah oui d'accord je vois merci !

Mais alors il faut majorer série de terme général en s'aidant de la série de terme général ?

[Flyingsquirrel]

Mais alors il faut majorer série de terme général en s'aidant de la série de terme général ?

Je te conseille plutôt d'utiliser pour majorer .

[inviteb64a2f8e]

Mais alors est-ce que j'ai le droit de dire que et donc que ? Et donc la série de terme général converge.

Le 0 ne pose pas de problèmes ?

[Flyingsquirrel]

Le 0 ne pose pas de problèmes ?

Si, si, il pose problème... mais c'est un petit problème :

Pour , donc, par comparaison, on en déduit que converge (ne pas oublier de dire que les sont positifs sinon le raisonnement est faux). Il reste à montrer que converge également...

[inviteb64a2f8e]

Pour montrer que converge, il suffit de dire que ?

[Thorin]

En DS, je me contenterais de dire que c'est évident...

[inviteb64a2f8e]

C'est vrai que ça pourrait sûrement passer, mais la prof nous a dit en 1ère année d'éviter les "C'est évident" pour les récurrences simples ou autres.

[Flyingsquirrel]

Pour montrer que converge, il suffit de dire que ?

Peu importe la valeur de , si existe alors existe aussi.

[inviteb64a2f8e]

Ah oui ok d'accord je vois.

Mais alors pour montrer que la série de terme général converge c'est évident si on suppose que la série de terme général converge non ?

En revanche pour la question 4), je ne vois pas trop comment faire :S

[Flyingsquirrel]

Mais alors pour montrer que la série de terme général converge c'est évident si on suppose que la série de terme général converge non ?

Ça dépend. Comment comptes-tu le démontrer ?

En revanche pour la question 4), je ne vois pas trop comment faire :S

[Thorin]

Essaie par exemple de calculer la différence des deux sommes...et d'observer un "télescopage".

NB : si la suite converge vers une limite, et que la suite converge aussi, que peut-on dire de la limite de ?

Edit :grillé.

[inviteb64a2f8e]

Ça dépend. Comment comptes-tu le démontrer ?

Et bien je pensais dire que la série de terme général converge et la série de terme général converge aussi donc, par somme, la série de terme général converge. Non ?

Ah ui d'accord je vois, on utilise les sommes téléscopiques (comme l'a dit Thorin d'ailleurs). Merci !

[Flyingsquirrel]

Et bien je pensais dire que la série de terme général converge et la série de terme général converge aussi donc, par somme, la série de terme général converge. Non ?

Si, si, c'est bon.