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Convergence de séries entières



  1. #1
    Bleyblue

    Convergence de séries entières


    ------

    Bonjour,

    Sachant que la série entière converge je suis sensé trouver si les séries :

    a)

    et

    b)

    convergent

    Moi je ne vois pas trop comment faire, je peux appliquer le test du quotient en prenant :



    du coup :



    (< 1 sinon la série ne converge pas)
    Mais en quoi cela m'aide t'il à conclure sur les deux séries ci dessus ?

    merci

    -----

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  3. #2
    matthias

    Re : Convergence de séries entières

    Réfléchis en terme de rayon de convergence.

  4. #3
    homotopie

    Re : Convergence de séries entières

    Bonjour,
    d'abord pour que le b) soit vrai il faut que ou que la convergence de la série soit une convergence absolue (cas particulier )
    Contre-exemple assez trivial :
    Il me semble que ce soit nécessaire aussi pour le a) mais je n'ai pas de contre-exemple sous la main.
    Maintenant puisque la condition précédente est nécessaire, en majorant on obtient facilement la convergence absolue des deux séries a et b.

    Cordialement

  5. #4
    matthias

    Re : Convergence de séries entières

    Citation Envoyé par homotopie
    Il me semble que ce soit nécessaire aussi pour le a) mais je n'ai pas de contre-exemple sous la main.
    Non ce n'est pas nécessaire. La série converge donc le rayon de convergence est supérieur ou égal à 4, ça suffit pour répondre à la a). Si la série n'était pas absolument convergente, ça nous dirait juste que le rayon de convergence est inférieur ou égal à 4, il n'y a pas d'incompatibilité.

    La b) est évidemment le cas limite qui est là pour bien rappeler qu'on ne sait rien a priori si le module est égal au rayon de convergence.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    homotopie

    Re : Convergence de séries entières

    Citation Envoyé par matthias
    Non ce n'est pas nécessaire. La série converge donc le rayon de convergence est supérieur ou égal à 4, ça suffit pour répondre à la a). Si la série n'était pas absolument convergente, ça nous dirait juste que le rayon de convergence est inférieur ou égal à 4, il n'y a pas d'incompatibilité.
    Oui bien sûr !

  8. #6
    Bleyblue

    Re : Convergence de séries entières

    Je ne comprends pas bien tout ce que vous dites (je vais relire) mais dans le corrigé du livre il est écrit que la série a) converge et que la b) ne converge pas

    merci

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  10. #7
    Bleyblue

    Re : Convergence de séries entières

    Le rayon de convergence de la série de départ c'est tout de même bien 1/4 non ?

    Mais à quoi cela pourrait-il bien nous servir ? Je ne vois pas comment faire le lien entre la convergence de cette série et celles des deux autres

    Citation Envoyé par matthias
    La b) est évidemment le cas limite qui est là pour bien rappeler qu'on ne sait rien a priori si le module est égal au rayon de convergence.
    Qu'est ce que c'est que ça le module ?

    merci

  11. #8
    Bleyblue

    Re : Convergence de séries entières

    Attendez qu'est ce que je raconte comme bêtises moi

    Pour parler de rayon de convergence il faut qu'il y ai une variable quelque part. Ici il n'y a que l'indice n et le reste c'est des constantes (4,-4,-2)

    Qu'est ce qu'on peut bien faire avec des séries pareilles ?

    merci

  12. #9
    Bleyblue

    Re : Convergence de séries entières

    Citation Envoyé par homotopie
    b) soit vrai il faut que ou que la convergence de la série soit une convergence absolue
    Comment ça ? La convergence n'implique pas la convergence absolue tout de même ...

    merci

  13. #10
    khalil kouifat

    Re : Convergence de séries entières

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Bonjour,

    Sachant que la série entière converge je suis sensé trouver si les séries :

    a)

    et

    b)

    convergent

    Moi je ne vois pas trop comment faire, je peux appliquer le test du quotient en prenant :



    du coup :



    (< 1 sinon la série ne converge pas)
    Mais en quoi cela m'aide t'il à conclure sur les deux séries ci dessus ?

    merci
    bonjour .vous avez appliquez la régle de d'alembert ce qui n'est pas le cas.pour l'appliquer il faut que le terme génerale soit posisif (c indice n).(voir le cours).et merci.

  14. #11
    Bleyblue

    Re : Convergence de séries entières

    Mais dans mon livre il est écrit que ce test est valable pour n'importe quelle série ...

    merci

    EDIT: Je ne suis pas sûr que l'on parle du même test, il s'agit ici du test du quotient (valable pour toutes les séries) et non pas du test de comparaison (valable que pour les séries à termes positifs)
    Dernière modification par Bleyblue ; 08/04/2006 à 16h05.

  15. #12
    khalil kouifat

    Re : Convergence de séries entières

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Mais dans mon livre il est écrit que ce test est valable pour n'importe quelle série ...

    merci

    EDIT: Je ne suis pas sûr que l'on parle du même test, il s'agit ici du test du quotient (valable pour toutes les séries) et non pas du test de comparaison (valable que pour les séries à termes positifs)
    moi j'ai dans mon cours il ne faut pas appliquer la regle de d'alembert si le terme generale n'est pas posisif.contre exemple :serie alternée la somme de (-1) a la puissance n divisé par n .si tu fais d'alembert tu va trouver 1 indiférent majoré par (1/n) donc il ne converge pas .alors absurde car série altérnée converge.

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  17. #13
    Bleyblue

    Re : Convergence de séries entières

    Oui en cherchant sur internet je me suis rendut compte que la règle de d'Alembert c'est ce que moi j'appel la règle du quotient

    Mais pourtant je suis sûr qu'on peut l'utiliser avec toutes les séries parceque si tu tombes sur 1 ça ne veut pas dire que la série ne converge pas :

    si L > 1 -> la série ne converge pas (diverge)
    si L < 1 -> la série converge
    si L = 1 on ne peut pas conclure

    vois plutôt ici : http://www.bibmath.net/dico/index.ph...dalembert.html

    merci

  18. #14
    matthias

    Re : Convergence de séries entières

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Je ne comprends pas bien tout ce que vous dites (je vais relire) mais dans le corrigé du livre il est écrit que la série a) converge et que la b) ne converge pas
    La série a) converge forcément, la série b) peut ne pas converger, mais elle peut aussi converger, ça dépend de la suite cn.

  19. #15
    matthias

    Re : Convergence de séries entières

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Le rayon de convergence de la série de départ c'est tout de même bien 1/4 non ? Mais à quoi cela pourrait-il bien nous servir ? Je ne vois pas comment faire le lien entre la convergence de cette série et celles des deux autres
    Ton sujet parle de séries entières, donc à moins de vouloir redémontrer les résultats sur les séries entières, autant les utiliser.
    Tu considères la série entière et son rayon de convergence. Tes séries sont obtenues pour des valeurs particulières de x.
    Le rayon de la série entière ne peut pas être 1/4 puisque on a convergence pour x = 4.

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Qu'est ce que c'est que ça le module ?
    Le module d'un complexe ...
    Donc la valeur absolue si tu veux te limiter aux réels.

  20. #16
    Bleyblue

    Re : Convergence de séries entières

    Citation Envoyé par matthias
    La série converge donc le rayon de convergence est supérieur ou égal à 4, ça suffit pour répondre à la a). Si la série n'était pas absolument convergente, ça nous dirait juste que le rayon de convergence est inférieur ou égal à 4, il n'y a pas d'incompatibilité.

    La b) est évidemment le cas limite qui est là pour bien rappeler qu'on ne sait rien a priori si le module est égal au rayon de convergence
    ah mais oui bien sûr, je comprends maintenant

    Ce n'étais pas bien dur en fait, je ne sais pas pourquoi j'ai mis tant de temps à comprendre.

    Enfin, merci bien !

  21. #17
    space-kro

    Re : Convergence de séries entières

    Je voudrais juste ajouter qu'il faut faire attention avec le critère d'Alembert, c'est un condition suffisante de convergence mais c'est n'est pas une condition necessaire !

    En d'autre termes, c'est n'est pas parce qu'une serie entière de terme général an a un rayon de convergence non nul que :

    limn->OO an+1 / an existe.

    par contre si cela possède une limite, on peut appliquer la règle du quotient (à savoir que la limite est égale à l'inverse du rayon de convergence), mais a priori, on ne le sait pas. J'ai pas de contre exemple sous la main, mais je suis quasiment sûr de ce que je dis (vieux souvenir de prépa qui remonte...)

  22. #18
    GuYem

    Re : Convergence de séries entières

    Citation Envoyé par khalil kouifat
    bonjour .vous avez appliquez la régle de d'alembert ce qui n'est pas le cas.pour l'appliquer il faut que le terme génerale soit posisif (c indice n).(voir le cours).et merci.
    Pour répondre à Khalil : on ne peut appliquer le critère de d'Alembert que pour des séries à termes positifs.

    Mais ici bleyblue ne l'applique pas à la série elle-même, mais à la valeur absolue de la série (même si c'est un peu caché). Il espère ainsi montrer la convergence absolue, et donc la convergence.

    Pour résumer la situation pour Bleyblue : si une série entière converge pour un certain réel x (complexe z), alors elle converge pour tous les réels (complexes) qui ont une valeur absolue (module) strictement plus petit que x (z).
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  24. #19
    Bleyblue

    Re : Convergence de séries entières

    D'accord merci

  25. #20
    khalil kouifat

    Re : Convergence de séries entières

    Citation Envoyé par GuYem
    Pour répondre à Khalil : on ne peut appliquer le critère de d'Alembert que pour des séries à termes positifs.

    Mais ici bleyblue ne l'applique pas à la série elle-même, mais à la valeur absolue de la série (même si c'est un peu caché). Il espère ainsi montrer la convergence absolue, et donc la convergence.

    Pour résumer la situation pour Bleyblue : si une série entière converge pour un certain réel x (complexe z), alors elle converge pour tous les réels (complexes) qui ont une valeur absolue (module) strictement plus petit que x (z).
    bonjour .oui je suis d'accord avec vous.
    merci

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