Démonstration de la convergence de séries

[le fouineur]

Bonjour à tous,

J' ai en ce moment à titre d'exercices quelques séries dont le terme général est précisé plus loin et pour lesquelles je dois simplement préciser leur nature....

La première a pour t.g. : u(n)=(1+n^2)/n!

et je pense qu'on peut conclure à l'aide du critère de d'Alembert:soit

Limite quand n->oo[u(n+1)/u(n)]

=Limite quand n->oo[(2+n)/(1+n^2)]=0

donc la s.t.g. u(n) converge.qu'en pensez-vous?

mème punition pour la s.t.g. : u(n)=n^2/n!

Merci d'avance pour vos réponses

Cordialement le fouineur
-----

[chwebij]

oui c'est exacte
de maniere intuitive tu peux deja evaluer si elle converge
avec les croissance comparé on a

donc lorsqu'on a l'un des trois en denominateur il faut voir si le numerateur est de la forme de l'un des trois, si il est a droite il y a gros a parier qu'elle converge si le num est a gauche ca semble diverger grossierement mais dans tous les cas il faut le demontrer mais au moins on voit ce qu'on cherche!
dans ton cas on sait deja que ca cv avant de faire les calculs mais ces derniers sont bon!

[le fouineur]

Merci chwebij pour ta réponse rapide

J' en ai deux autres:

u(n)=(ln(n))^-n ça converge mais comment le démontrer?quel critère utiliser?

u(n)=ln[1+(1/n^2)] là, je n'ai vraiment aucune idée.ça converge ou ça diverge?

Merci pour vos réponses

[invitea8d97425]

Pour la deuxième, cherche un équivalent du TG...

Pour la première j'aurais tendance à majorer le ln(ln(n)), je pense que c'est le plus rapide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[chwebij]

ba pour le premier je crois avoir encore plus rapide, un petit coup de cauchy


et la c'est torché

[le fouineur]

Bonjour chwebij et Ithilian_bzh et merci pour vos réponses,

Bien vu chewbij pour l'utilisation du critère de Cauchy pour la 1ère série,en effet y a pas plus simple et plus rapide...

Maintenant pour la 2ème: u(n)= ln[1+(1/n^2)]
Le terme général u(n)->0 quand n->+oo mais ce n'est pas suffisant pour démontrer la convergence de la série....
J'ai calculé l'intégrale associée:c'est:

Intégrale de 1 à +oo de ln[1+(1/x^2)]*dx

Et elle vaut:Pi/2-ln(2) la valeur de l'intégrale est finie donc théoriquement la série associée converge....

"Mathematica" est par contre incapable d' évaluer la série de 1 jusqu'à +oo.Que dois-je en conclure? Est ce que la série converge vraiment?Et dans ce cas quelle est sa limite?

Merci de m'aider,je suis dans une impasse...

Cordialement le fouineur

[invitea8d97425]

Comme je te l'ai dit, cherche un équivalent du TG... Toujours commencer par le TG (mon prof de maths avait des méthodes... persuasives pour nous faire renter ça dans la tête )

[le fouineur]

Bonsoir Ithilian_bzh et bonsoir à tous,

J' ai en effet pu démontrer que la série converge bien en montrant que l'équivalent de

u(n)=ln[1+(1/n^2)] était v(n)=1/n^2 quand n->+oo

puis il est un jeu d'enfant de démontrer que la série de terme général v(n) converge (c'est une série de Riemann avec n=2>1)

En tout cas merci pour ta suggestion qui s'est avérée décisive....

Cordialement le fouineur