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Règle de Jensen (convergence de séries)



  1. #1
    nebben

    Règle de Jensen (convergence de séries)


    ------

    Règle de Jensen: (Un) et (Vn) sont deux suites réelles à terme postifs.
    On suppose qu'à partir d'un certain rang, Vn Un /Un+1 -Vn+1 > a réel strictement positif.
    Alors la série de terme général Un est convergente.
    Quelqu'un aurait-il une idée de la démo ...?
    Merci d'avance !

    -----

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  4. #2
    GuYem

    Re : Règle de Jensen (convergence de séries)

    Bonjour je ne comprends pas vraiment ton inégalité. Peut-être un manque de parenthèse.. Tu peux réécrire stp ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  5. #3
    indian58

    Re : Règle de Jensen (convergence de séries)

    Facile!! Tu multiplies ton inégalité par et c'est terminé!

  6. #4
    nebben

    Re : Règle de Jensen (convergence de séries)

    Je vous réécrit l'inégalité...
    Vn *(Un /Un+1 )-Vn+1 >a

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    nebben

    Re : Règle de Jensen (convergence de séries)

    En multipliant par Un+1 , on obtient:
    Vn Un -Vn+1 Un+1 >a
    En quoi cela me permet-il de conclure sur la convergence de la série de terme général Un ?

  9. #6
    indian58

    Re : Règle de Jensen (convergence de séries)

    Et le à droite, tu l'aurais pas oublié par hasard??

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  11. #7
    nebben

    Re : Règle de Jensen (convergence de séries)

    Très juste indian 58 , autant pour moi... Mais j'ai bien peur que ca ne fasse pas avancer le pbl...

  12. #8
    nebben

    Re : Règle de Jensen (convergence de séries)

    Au même sujet, quelqu'un aurait-il une piste de démo pour la règle de Kummer ?
    (Un ), (Vn ) deux suites réelles à termes positifs.
    On suppose qu'à partir d'un certain rang Vn*(Un/Un+1)-Vn+1<0 et que la série de terme général 1/Vn diverge.
    Alors la série de terme général Un diverge.

  13. #9
    martini_bird

    Re : Règle de Jensen (convergence de séries)

    Salut,

    pour la règle de Jensen: démontrer que Un.Vn est décroissante donc convergente car positive. En déduire que Ur+Ur+1+...+Un+1 est majoré (penser au télescopage; r est un rang à partir duquel la relation Vn.(Un/Un+1)-Vn+1>a est vraie), puis qu'elle est convergente (Un>0 donc la suite des sommes partielles est croissante...). Conclure.

    Pour la règle de Kummer: en écrivant l'inégalité ainsi
    ,
    ça devrait être plus clair.

    Cordialement.

  14. #10
    nebben

    Re : Règle de Jensen (convergence de séries)

    Merci pour les pistes de travail... Mais j'ai biein peur de bloquer à nouveau:
    OK pour la décroissance de Un.Vn et donc pour la convergence de cette suite.
    Avec M majorant de Un.Vn, en utilisant la relation Vn.(Un/Un+1)-Vn+1>a, j'arrive à majorer Un+1 par M/a, mais la somme serait alors majorée par (n+2-r)*M/a et je n'arrive pas à trouver de majorant indépendant de n...

    Concernant la règle de Kummer, j'avais bien vu la modification de l'inégalité, j'avais alors pensé à utiliser d'Alembert en considérant (1/Vn+1)/(1/Vn)>1 du fait de sa divergence avant de me rendre compte que l'on ne pouvait pas utiliser cette inégalité et donc me retrouver bloqué...

    Si tu pouvais me refiler une ou deux pistes... Merci d'avance...

  15. #11
    nebben

    Re : Règle de Jensen (convergence de séries)

    J'ai trouvé une démo pour Jensen:
    Vn.Un -Vn+1.Un+1 > a.Un+1 > 0
    D'où: la suite (Un.Vn) décroissante positive, par conséquent convergente.
    Donc la série de terme générale (Un.Vn)-(Vn+1.Un+1) est convergente.
    D'après l'inégalité précédente, la série de terme général Un est convergente.

    Je bloque toujours pour Kummer...

  16. #12
    martini_bird

    Re : Règle de Jensen (convergence de séries)

    Salut,

    pour Kummer, il suffit de démontrer que pour une certaine constante positive , à partir d'un certain rang (je note ).

    En écrivant:





    il vient



    Je te laisse continuer.

    Cordialement.
    Dernière modification par martini_bird ; 19/10/2005 à 14h19.

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  18. #13
    nebben

    Re : Règle de Jensen (convergence de séries)

    C'est tout bon...
    Merci Martini_bird pour tes conseils.

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