Jordanisation.

[invite35d823b4]

Hello tout le monde,

je viens a vous dans l'espoir d'obtenir un petit peu d'aide à propos de la Jordanisation de matrices.

Donc, lorsque on me demande de diagonaliser une matrice, et que je remarque que c'est pas possible ( i.e. la dimension d'un espace propre < multiplicité de la valeur propre correspondant) je passe a la jordanisation de cette matrice.

Je garde les vecteurs propres qui ne posent pas problème, et pour les autres je calcul le (avec A la matrice a jordaniser, lambda la valeur propre qui pose problème lors de la diagonalisation, et n la multiplicité de la valeur propres),... et puis je ne sais plus quoi faire :=/


Merci de votre aide.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Je garde les vecteurs propres qui ne posent pas problème, et pour les autres je calcul le (avec A la matrice a jordaniser, lambda la valeur propre qui pose problème lors de la diagonalisation, et n la multiplicité de la valeur propres),... et puis je ne sais plus quoi faire :=/

Pour chaque vecteur propre associé , tu calcules un vecteur tel que , puis un vecteur tel que , puis un vecteur tel que , puis... tant que c'est possible.
Les vecteurs te pemettent de construire un bloc de Jordan pour chaque vecteur propre .

[invite35d823b4]

Merci God's Breath, ça fonctionne très bien

Cependant j'ai éssayé de faire 2-3 recherche sur la jordanisation, et je suis tombé sur cette page:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Jordanisation#Exemple_1
Ici, la base de Jordan est obtenue par le vecteur propre(v) et les vecteurs obtenu par , avec n< multiplicité de la valeur propre.

Est-ce une autre méthode?

[invite149f1bfb]

bonjour ,

en fait tu vas trigonaliser ta matrice en une matrice de jordan...

Pour ce faire sur la diagonale principale, tu auras les valeurs propres qui interniennent autant de fois que leur multiplicité, et sur la diagonale "juste au dessus" tu as des 0 s'il s'agit en colonne d'un vecteur propre des 1 sinon.

Pour trouver la nouvelle base adéquate il faut choisir une base convenable pour chaque sous espace caractéristique ( étant donné que l'espace se décompose en somme directe des SEC):

1) à une valeur propre tu trouves une base du sous espace propre SEP() par exemple (U1,U2,...,Uk).

2) pour les vecteur "non propres" du sous espace caratétistique SEC():
tu chosis Uk+1 tel que A.Uk+1=.Uk+1 + A.Uk
tu chosis Uk+2 tel que A.Uk+2=.Uk+2 + A.Uk+1 etc

et tu réitères pour chaque sous espace caractéritique...
Dans la base ainsi obtenur tu as une matrice de jordan.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Bonjour,

Cependant j'ai éssayé de faire 2-3 recherche sur la jordanisation, et je suis tombé sur cette page:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Jordanisation#Exemple_1
Ici, la base de Jordan est obtenue par le vecteur propre(v) et les vecteurs obtenu par , avec n< multiplicité de la valeur propre.

Est-ce une autre méthode?

C'est la même méthode, mais à l'envers : au lieu de calculer à partir de en résolvant , ils se servent de cette relation pour calculer directement à partir de , mais contrairement à la méthode que je propose, ils ne partent pas d'un vecteur propre , mais d'un élément astucieusement choisi dans avec la multiplicité de : ils remarquent (on ne sait comment...) que le premier vecteur de la base canonique a pour polynôme minimal , donc qu'il appartient à , mais pas à , et que c'est donc un générateur du sous-espace caractéristique.

Pour trouver la nouvelle base adéquate il faut choisir une base convenable pour chaque sous espace caractéristique ( étant donné que l'espace se décompose en somme directe des SEC):

1) à une valeur propre tu trouves une base du sous espace propre SEP() par exemple (U1,U2,...,Uk).

2) pour les vecteur "non propres" du sous espace caratétistique SEC():
tu chosis Uk+1 tel que A.Uk+1=.Uk+1 + A.Uk
tu chosis Uk+2 tel que A.Uk+2=.Uk+2 + A.Uk+1 etc

et tu réitères pour chaque sous espace caractéritique...

Il ne s'agit pas de le répéter sur chaque sous-espace caractéristiques, mais sur tous les vecteurs d'une base de chacun des sous-espaces propres.
Autrement dit, chacun des vecteurs propres , , ..., doit donner lieu à une telle construction de vecteurs de la base de Jordan, pas uniquement .
C'est exactement, mais formulée différemment, la méthode que je propose.

[invite8eed16c3]

hey les gars!! poff jé rien compris ; je sais po comment trouver la base de jordanisation !!quelqu'un m'aide SVP