Somme, Fourier ?

**Kley** · 29/05/2008, 10h05

Salut à tous,
Alors vous connaissez cette egalité?:
$\text{[math]}$

Si oui , comment arriver à ce résultat

merci , Ciao

invite57a1e779 · 29/05/2008, 10h48

Envoyé par Kley

$\text{[math]}$

comment arriver à ce résultat

En développant en série de Fourier un créneau $\text{[math]}$

**Kley** · 29/05/2008, 13h52

Envoyé par God's Breath

En développant en série de Fourier un créneau $\text{[math]}$

je n'vois pas!!?

**breukin** · 31/05/2008, 11h30

Il est très peu probable que, quel que soit x et quelle que soit la suite λ_n, la série converge touujours vers la même valeur π/4 !
D'ailleurs, si x=0, tous les termes de la série sont nuls.

Si vous reformuliez votre... formule ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Celestion** · 31/05/2008, 13h43

Envoyé par breukin

Il est très peu probable que, quel que soit x et quelle que soit la suite λ_n, la série converge touujours vers la même valeur π/4 !
D'ailleurs, si x=0, tous les termes de la série sont nuls.

Si vous reformuliez votre... formule ?

Salut,
Tu veux dire si $\text{[math]}$ , tous les termes de la série sont nuls. En fait cette équation n'est vraie que pour x=0 justement.

**breukin** · 31/05/2008, 14h07

Non, si x=0, car cos λ_n.x ne doit pas se lire cos(λ_n.x) mais x.cos λ_n
D'ailleurs le point avant le cos indique bien qu'il s'agit d'un produit de trois termes, la fraction, le cos, et le x.
En revanche, sans le point, cos λ_nx peut se lire cos(λ_nx)

invite57a1e779 · 31/05/2008, 15h29

Envoyé par Celestion

Tu veux dire si $\text{[math]}$ , tous les termes de la série sont nuls

Le réel $\text{[math]}$ ne peut être égal à tous les $\text{[math]}$ , sauf dans le cas où la suite $\text{[math]}$ est constante.

**Kley** · 31/05/2008, 15h36

Envoyé par breukin

Non, si x=0, car cos λ_n.x ne doit pas se lire cos(λ_n.x) mais x.cos λ_n
D'ailleurs le point avant le cos indique bien qu'il s'agit d'un produit de trois termes, la fraction, le cos, et le x.
En revanche, sans le point, cos λ_nx peut se lire cos(λ_nx)

Désolé breukin
J’ai fait une faute dans l’écriture

, il fallait lire la somme comme l’a fait Celestion

C'est-à-dire : $\text{[math]}$

Envoyé par breukin

Il est très peu probable que, quel que soit x et quelle que soit la suite λ_n, la série converge touujours vers la même valeur π/4 !
D'ailleurs, si x=0, tous les termes de la série sont nuls.

Si vous reformuliez votre... formule ?

Ah je l’ignorais,

Alors j'ai: $\text{[math]}$
et bon x varie entre 0 et L .

Je peux avoir une démonstration illustrant que cette somme= $\text{[math]}$ ?

A+

invite57a1e779 · 31/05/2008, 16h12

Bonjour Kley,

Si tu reprends le créneau que j'ai donné dans ma première réponse, et si tu fais l'effort de calculer sa série de Fourier, tu auras immédiatement la réponse à ta question.

**Kley** · 31/05/2008, 17h30

Envoyé par God's Breath

Bonjour Kley,

Si tu reprends le créneau que j'ai donné dans ma première réponse, et si tu fais l'effort de calculer sa série de Fourier, tu auras immédiatement la réponse à ta question.

Salut God's Breath

Pour développer une fonction en série de cosinus elle doit être paire.

Je prend donc $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$

Je n’aboutie pas au résultat

?

invite57a1e779 · 31/05/2008, 17h57

Si tu développes correctement le créneau, tu dois obtenir la série de Fourier $\text{[math]}$ .

Pour $\text{[math]}$ , tu as donc $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ .

Mais pour $\text{[math]}$ , tu as $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ .

Pour $\text{[math]}$ la somme de la série de Fourier est $\text{[math]}$ .

En posant $\text{[math]}$ , tu te ramèneras à l'intervalle $\text{[math]}$ .

Tous calculs faits, il est plus judicieux de développer le créneau défini par $\text{[math]}$ .

**Kley** · 31/05/2008, 20h12

Envoyé par God's Breath

Si tu développes correctement le créneau, tu dois obtenir la série de Fourier $\text{[math]}$ .

Pour $\text{[math]}$ , tu as donc $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ .

Mais pour $\text{[math]}$ , tu as $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ .

Pour $\text{[math]}$ la somme de la série de Fourier est $\text{[math]}$ .

En posant $\text{[math]}$ , tu te ramèneras à l'intervalle $\text{[math]}$ .

Tous calculs faits, il est plus judicieux de développer le créneau défini par $\text{[math]}$ .

On va vite localiser:
Je vois que tu as trouvé un $\text{[math]}$
Moi non

, les bornes ?

Voila: $\text{[math]}$

Je trouve $\text{[math]}$
Comme tu vois j’ai développe la fonction f(x)= $\text{[math]}$ en serie cosinus sur une période de longueur $\text{[math]}$ à savoir $\text{[math]}$

ou est l'erreur?

invite57a1e779 · 31/05/2008, 20h22

Envoyé par Kley

Comme tu vois j’ai développe la fonction f(x)= $\text{[math]}$ en serie cosinus sur une période de longueur $\text{[math]}$ à savoir $\text{[math]}$

ou est l'erreur?

Ta fonction est constante sur une période, donc elle est constante sur $\text{[math]}$ , donc son développement de Fourier est trivial. Le premier terme vaut bien $\text{[math]}$ , mais tous les autres sont nuls, ce qui ne sert à rien.

C'est pourquoi je propose un créneau : $\text{[math]}$ sur une demi-période, et 0 sur l'autre demi-période.

**Kley** · 01/06/2008, 11h49

Envoyé par God's Breath

Ta fonction est constante sur une période, donc elle est constante sur $\text{[math]}$ , donc son développement de Fourier est trivial. Le premier terme vaut bien $\text{[math]}$ , mais tous les autres sont nuls, ce qui ne sert à rien.

C'est exactement cela,

Envoyé par God's Breath

C'est pourquoi je propose un créneau : $\text{[math]}$ sur une demi-période, et 0 sur l'autre demi-période.

0 ou $\text{[math]}$ sur l'autre periode?

Je dois faire ça God's Breath :
$\text{[math]}$

?

invite57a1e779 · 01/06/2008, 12h22

Envoyé par Kley

0 ou $\text{[math]}$ sur l'autre periode?

C'est au choix, les deux conduisent au résultat, le second encombre un peu les calculs, mais on obtient plus directement le résultat.

Envoyé par Kley

Je dois faire ça God's Breath :
$\text{[math]}$

Oui, et c'est ce qui conduit au $\text{[math]}$ comme terme constant de la série de Fourier.

Si tu veux considérer le créneau avec $\text{[math]}$ sur la deuxième demi-période, tu auras
$\text{[math]}$

**Kley** · 01/06/2008, 13h16

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Je trouve bien le résultat par la suite,MERCI

Juste par curiosité le $\text{[math]}$ dans le cas ou la fonction est paire sur la période, la ce n’est pas le cas?

.

A+

invite57a1e779 · 01/06/2008, 13h38

Envoyé par Kley

Juste par curiosité le $\text{[math]}$ dans le cas ou la fonction est paire sur la période, la ce n’est pas le cas?

Si tu veux parler de fonction paire sur la période, il faut centrer la période en 0!!!
Dessine le créneau sur la période $\text{[math]}$ , et tu verras que l'on a bien une fonction paire, donc des $\text{[math]}$ nuls.

**Kley** · 01/06/2008, 14h44

Envoyé par God's Breath

Si tu veux parler de fonction paire sur la période, il faut centrer la période en 0!!!
Dessine le créneau sur la période $\text{[math]}$ , et tu verras que l'on a bien une fonction paire, donc des $\text{[math]}$ nuls.

Ok ,

Pour retrouver les valeurs, de ce genre de somme en cos
ça se fait par habitude ?

invite57a1e779 · 01/06/2008, 14h57

Envoyé par Kley

Pour retrouver les valeurs, de ce genre de somme en cos
ça se fait par habitude ?

Comme je n'aime pas travailler sur une période quelconque, je commence toujours avec la période $\text{[math]}$ , et je fais ensuite un changement de variable pour obtenir le résultat sur une autre période...

Pour obtenir le résultat, je suis obligé de prendre $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ .
Pour n'obtenir que des cosinus, il me faut une fonction paire, donc $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ .
L'habitude, et le flair, fournissent le complément sur la deuxième demi-période.

**Kley** · 01/06/2008, 15h02

Envoyé par God's Breath

Comme je n'aime pas travailler sur une période quelconque, je commence toujours avec la période $\text{[math]}$ , et je fais ensuite un changement de variable pour obtenir le résultat sur une autre période...

Pour obtenir le résultat, je suis obligé de prendre $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ .
Pour n'obtenir que des cosinus, il me faut une fonction paire, donc $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ .
L'habitude, et le flair, fournissent le complément sur la deuxième demi-période.

MERCI pour ton aide, God's Breath

**breukin** · 01/06/2008, 18h51

Il n'empêche que ta question et ta formule sont toujours mal formulées.
Car on ne peut avoir, pour tout x, et pour toute suite λ_n, ta série de somme constante même avec cos(xλ_n).

En effet, soit deux suites λ_n et λ'_n égales sauf à l'ordre k donné où elles prennent des valeurs différentes quelconques.
Alors tu devrais avoir par différence cos(xλ_k) = cos(xλ'_k).

Ce qui ne peut être vrai sans conditions sur x ou sur λ_k ou λ'_k.

Il serait sain que tu puisses poser correctement la série dont tu te proposes de démontrer qu'elle vaut π/4. Car la formule dans le post #8 est toujours fausse.

**Kley** · 02/06/2008, 15h50

Salut,

Envoyé par breukin

Il n'empêche que ta question et ta formule sont toujours mal formulées.
Car on ne peut avoir, pour tout x, et pour toute suite λ_n, ta série de somme constante même avec cos(xλ_n).

En effet, soit deux suites λ_n et λ'_n égales sauf à l'ordre k donné où elles prennent des valeurs différentes quelconques.
Alors tu devrais avoir par différence cos(xλ_k) = cos(xλ'_k).

Ce qui ne peut être vrai sans conditions sur x ou sur λ_k ou λ'_k.

Il serait sain que tu puisses poser correctement la série dont tu te proposes de démontrer qu'elle vaut π/4. Car la formule dans le post #8 est toujours fausse.

?

Pourtant bien j'ai posé des conditions sur le $\text{[math]}$ et le x

Envoyé par Kley

Désolé breukin
J’ai fait une faute dans l’écriture

, il fallait lire la somme comme l’a fait Celestion

C'est-à-dire : $\text{[math]}$

Ah je l’ignorais,

Alors j'ai: " $\text{[math]}$ " et bon x varie entre 0 et L .

Je peux avoir une démonstration illustrant que cette somme= $\text{[math]}$ ?

A+

on a montré que:

$\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ ,

Donc on a bien:

$\text{[math]}$ avec 0<x<L ("changement de variable")

Tu n'es pas d'accord!!

inviteaeeb6d8b · 02/06/2008, 16h10

Je suis complètement d'accord avec breukin

Je cite ton premier message :

Envoyé par Kley

Salut à tous,
Alors vous connaissez cette egalité?:
$\text{[math]}$

Si oui , comment arriver à ce résultat

merci , Ciao

Il n'y a aucun quantifieur ( $\text{[math]}$ ) !

Romain

EDIT : sans oublier l'énorme flou sur ce qui est ou non dans le cosinus...

**Kley** · 02/06/2008, 16h15

Envoyé par Romain-des-Bois

Je suis complètement d'accord avec breukin

Je cite ton premier message :

Il n'y a aucun quantifieur ( $\text{[math]}$ ) !

Romain

EDIT : sans oublier l'énorme flou sur ce qui est ou non dans le cosinus...

si, dans mon post #8 !!

**breukin** · 02/06/2008, 18h08

Oui, d'accord, effectivemement.
C'est ton "alors j'ai" que je n'avais pas compris comme étant l'explicitation de tes hypothèses.
Tout rentre dans l'ordre.

Somme, Fourier ?

Somme, Fourier ?

Re : Somme ,Fourier?

Re : Somme ,Fourier?

Re : Somme ,Fourier?

Re : Somme ,Fourier?

Re : Somme ,Fourier?

Re : Somme ,Fourier?

Re : Somme ,Fourier?

Re : Somme ,Fourier?

Re : Somme ,Fourier?

Re : Somme ,Fourier?

Re : Somme ,Fourier?

Re : Somme ,Fourier?

Re : Somme ,Fourier?

Re : Somme ,Fourier?

Re : Somme ,Fourier?

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Re : Somme, Fourier ?

Re : Somme, Fourier ?

Re : Somme, Fourier ?

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