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définitions



  1. #1
    ant

    définitions


    ------

    Bonjour à tous,

    Je souhaiterais avoir une définition simple et clair de ces 3 mots :
    injectif, bijectif, surjectif pour comprendre ce genre d'ennoncé :
    Par ex :
    f : A -> B est-elle bijective ?

    Je vous en prie, j'ai un niveau en mathématiques qui est assez faible, je fais de la remise à niveau (c'est pas facile), je vous serais donc trés reconaissant de vous mettre à ma portée en employant des termes pas trop savants

    J'ai eu beau regarder dans mon dictionnaire des mathématiques et chercher sur internet, je n'arrive pas à comprendre l'emploi de ces mots dans certains contextes (par ex dans l'étude des ensembles)

    J'espère que je vais pas passer pour un con, hihi !
    Je vous remercie par avance.
    Bonne continuation

    -----

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  3. #2
    Eskarina

    Re : définitions

    Soit la fonction y=f(x)
    Si :
    - une valeur de x donne une et une seule valeur de y -> f est surjective
    - une valeur de y donne une et une seule valeur de x -> f est injective

    Si les 2 propriétés sont vraies : bijective

    ex: y=4x -> si x=2, alors y=8 / si y=4, alors x=1 -> bijective
    Mais : y=4x² n'est pas bijective car si y=4, alors x =1 ou -1, elle est juste surjective

  4. #3
    Quinto

    Re : définitions

    Surjective, injective et bijective n'ont aucun sens sans parler d'ensemble sur lesquelles ces propriétés sont vraies ou non.
    y=x² n'est pas surjective sur R par exemple, mais sur R+....

    De plus la définition donnée de la surjectivité est fausse:
    y=3
    pour x donné, la valeur f(x) donnée est unique, comme c'est expliqué, mais pourtant f n'est pas surjective.

    Injective de A dans B:
    pour x et x' donné et différents, alors f(x) et f(x') sont différents (ie f(x)=f(x') si et seulement si x=x')
    injective de A dans B:
    pour un y donné dans B, il existe un x dans A tel que y=f(x).
    ie, tout element de B est l'image par f d'un élément de A.

    bijective de A dans B:
    injective+surjective de A dans B.
    ie: tout element de B est en relation avec un et un seul élément de A.
    Ceci implique que f est bijective si et seulement si f possède un inverse...

  5. #4
    Topov

    Re : définitions

    On va y arriver petit à petit ! Quinto a fait des fautes de frappe

    y=x² n'est pas injective sur R par exemple.

    Preuve : x1=2 x2=-2 ==> y(x1)=y(x2) ce qui est contradictoire avec la définition de l'injectivité

    Surjectivité : f est surjective si tout élément de B possède au moins un antécédent dans A
    ex. de NON-surjectivité A=R, B=R, f(x)=1/x
    0 est bien dans B mais tu ne peux pas trouver x1 tel que f(x1)=0

    Dis nous ce que tu penses de ces quelques exemples :
    1/ A=R+, B=R+, f(x)=sqrt(x)
    2/ Trouver A et B tels que f(x)=ln(x) soit bijective sur ces ensembles

    Si tu veux montrer cela (ie. sans intuition), ne soit pas surpris si c'est un peu long !

    Bonne journée

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    pallas

    Re : définitions

    Tout d'abord tu as deux ensembles:
    l'un de départ noté par exemple E
    l'autre d'arrivée noté F
    ensuite il y a une fonction de E vers F
    je rappelle qu'une fonction est une relation qui à tout élément de E associe zéro ou un élément de F( au plus un ) . Les éléments de E seront les antécèdents et ceux de F les images
    Maintenant pour les notions demandées il faut se placer dans F :
    --- si un élément de F n' admet aucun antécédent dans E ou bien un seul ( au plus un antécédent)alors la fonction est injective
    --- si tout élément de F admet un antécédent ou plusieurs ( au moins un antécédent)la fonction est surjective
    -- est la fonction est bijective si tout élément de F admet un et un seul antécédent ( cad elle est à la fois injective et surjective)


    A +

  8. #6
    Quinto

    Re : définitions

    "On va y arriver petit à petit ! Quinto a fait des fautes de frappe "

    Ah bon?Où donc??
    Mes définitions et exemples semblent corrects...

  9. Publicité
  10. #7
    Evil.Saien

    Re : définitions

    Citation Envoyé par Quinto
    Surjective, injective et bijective n'ont aucun sens sans parler d'ensemble sur lesquelles ces propriétés sont vraies ou non.
    y=x² n'est pas surjective sur R par exemple, mais sur R+....
    Il me semble que ce soit la...
    d'apres les def, y=x^2 de R->R est surjective mais pas injective
    non ?!

  11. #8
    esboy

    Re : définitions

    Citation Envoyé par Eskarina
    Soit la fonction y=f(x)
    Si :
    - une valeur de x donne une et une seule valeur de y -> f est surjective
    - une valeur de y donne une et une seule valeur de x -> f est injective
    Je précise que ce message est faux:
    la première définition est celle d'une fonction
    la deuxième est celle de la bijectivité
    (sous réserve de préciser les ensembles comme le dit Quinto)

  12. #9
    Quinto

    Re : définitions

    Citation Envoyé par Evil.Saien
    Il me semble que ce soit la...
    d'apres les def, y=x^2 de R->R est surjective mais pas injective
    non ?!
    Salut,
    non, elle n'est pas surjective, -1 n'a pas d'antécédent.
    J'ai précisé, que le domaine d'arrivé devait au plus, justement, etre R+ pour qu'elle soit surjective.

    Enfin n'en faisons pas un fromage.

  13. #10
    ant

    Re : définitions

    Je vous remercie , je devrais m'en sortir maintenant

  14. #11
    Topov

    Re : définitions

    Citation Envoyé par Quinto
    Enfin n'en faisons pas un fromage.
    N'en faisons pas un fromage mais je précise tout de même Tu as marqué 2 fois "injective de A dans B" ce que le lecteur averti aura corrigé par surjective le cas échéant.
    Juste une faute de frappe, pas de compréhension
    Bonne soirée !

  15. #12
    Quinto

    Re : définitions

    Ah, a ce niveau la en effet je n'avais pas relu.
    Mea culpa

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