Voici un problème de probabilité tiré de la revue "Pour la Science" de janvier 2004 (page 92) dont la solution est donnée, mais je ne la comprends pas. Quelqu'un pourrait-il me donner des explications. Voici :
" Un subtil raisonnement autoréférent "
" L'autoréférence, très présente en mathématique, constitue un moyen astucieux pour résoudre des problèmes sans rapport évident avec l'autoréférence ".
Exemple d'après D Newmann:
" On lance une roue de loterie pour tirer au hasard un réel entre 0 et 1. On recommence jusqu'à ce que la somme S des nombres tirés dépasse 1.
Montrer qu'il faut en moyenne e tirages pour dépasser 1 "
Solution :
1. Soit E(t) := nombre de rirages nécessaires en moyenne pour que S dépasse t appartenant à [0,1].
2. On suppose que E est continue et dérivable.
3. E(0) = 1
4. Si le 1er lancer donne x > t, alors E(t) = 1.
5. Si le 1er lancer donne x <= t, alors E(t) = 1 + E(t-x).
6. D'où E(t) = Intégrale de t à 1 [1.dx] + Intégrale de 0 à t [(1 + E(t-x))dx]
E(t) = 1 + Intégrale de 0 à t [E(u) du]. En dérivant :
E'(t) = E(t) d'où E(t) = exp t soit E(1) = e. "
Ce que je ne comptrends pas, ce sont les étapes 4. et 5. : Il est dit d'une part que E(t) est une moyenne donc une valeur certaine et d'autre part E(t) semble être traitée comme une variable aléatoire contitionnée (par x > t ou <= t) ?? !!.
Merci à qui pourra m'expliquer.
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