système d'équation trigonométrie

[invite92876ef2]

Bonjour.

Soit à résoudre :

Sin a + Sin b = racine(3/2)
Cos a + Cos b = racine(1/2)

Trouver a et b.

Moi jai fait ça :

cos²b + sin²b = 1.
<=> (racine(3/2) - sin a)² + (racine(1/2) - cos a)² = 1.
<=> 1 - racine(3/2) sina - racine(1/2) cosa = 0.
<=> racine(2) - racine(3) sina = cosa = racine(1 - sin²a)
<=> 2 + 3sin²a - 2racine(6) sina = 1 - sin²a
<=> 2sin²a - racine(6)sina + 1/2 = 0

on trouve : sin a = (racine6 +- racine2)/4 et on en tire a.

enfin : sin b = racine(3/2) - sin a = racine(3/2) - (racine6 +- racine2)/4 et on en tire b.

On trouve que si a = 1.309, b = 0.262 et réciproquement.

PROBLEME : quand on remplace dans l'équation du consinus pour vérifier, on ne trouve pas racine(1/2). Pourquoi ?????

Merci de m'aider un peu...
-----

[invite5a251c63]

Dans la troisième ligne, il y a un facteur 2 qui a disparu, il me semble.
Sinon as tu vu les formules de trigonométrie (sin a + sin b = ... ) ? Cela pourrait t'aider.

Jeff

[invite92876ef2]

Oui oui je sais, mais je voulais essayer pour m'amuser une méthode plus barbare.
Où le facteur 2 a sauté ????????

[invite92876ef2]

on a
sin²a + cos²a + 3/2 + 1/2 - 2racine(3/2)sina - 2racine(1/2)cosa = 1
<=> 4/2 - 2racine(3/2)sina - 2racine(1/2)cosa = 0
<=> 1 - racine(3/2)sina - racin(1/2)cosa = 0

Merci de m'aider!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5a251c63]

Tu as raison. Je suis un peu fatigué ce soir.

Le problème vient du fait que cos et sin ne sont pas injectives ...


Jeff

[invite92876ef2]

Bon sang... Tu as tellement raison !... Merci l'algèbre ! Je me suis dit la même chose que toi, mais je ne pensais pas que ça pouvait avoir une telle conséquence en analyse, dans un calcul sans faute.

Dans quelle ligne de mon calcul ça se ressent ?

[invite5a251c63]

"on en tire a"
"on en tire b"

deux solutions pour a, deux solutions pour b à chaque fois.
Cela fait quatre solutions en tout.

Je te laisse voir quelles solutions sont les bonnes et quelles sont les mauvaises.
Il faut faire une analyse synthèse car tu te rends compte que tu perds l'équivalence à ce moment.

Jeff

[invite92876ef2]

le truc incroyable c'est que si a = 0,262 , b = 1,309 et réciproquement.
Donc la somme des cosinus aurait du me donner une valeur de racine(1/2). Ce n'est pas ce qu'il se passe (j'ai une valeur de 1,22)...

AU FAIT j'ai oublié de signaler que a et b sont entre 0 et Pi.

[invite92876ef2]

en fait j'ai une équation du second degré en sina.
Ca peut introduire des solutions parasites ?...

[invite5a251c63]

Ton équation en sin a introduit des solutions parasites comme ici :
" cos a = racine(1 - sin²a) "
La susbstitution de cos a par racine(1 - sin²a) n'est valable que si a appartient à [0, pi/2] si tu veux garder l'équivalence.

Il faut plutot traiter le systeme suivant :



Sin a + Sin b = racine(3/2) Sin a = (racine6 +- racine2)/4
Cos a + Cos b = racine(1/2) <=> Sin b = racine(3/2) - (racine6 +- racine2)/4
Cos a + Cos b = racine(1/2)

Maintenant tu peux résoudre ce système en n'oubliant pas que :
sin a = sin b <=> a = b OU a = pi - b

[invite92876ef2]

Oooh oui... finalement il n'y a pas de problème d'algèbre !!! C'est bien ce que je pensais, ça me paraissait anormal.

Je te remercie du petit rappel rantan. vraiment, merci beaucoup !