système d'équation

[invite40bb6564]

Bonjour,

je cherche le maximum de la fonction suivante :

f(x,y)=A*(y-B-C*x)/(R(y^2+x^2)-D*y-E*x) où A,B,C,D,E et R sont des constantes.
J' ai donc dérivé f par x et par y et j obtiens un système de deux équations :
(1) RCx^2-RCy^2+2RBx+(CD+E)y-2Rxy=0
(2) Rx^2-Ry^2-(CD+E)x+2RBy+2RCxy=0

mais je n'arrive pas à résoudre ce système, pouvez vous m'aider ?
merci beaucoup
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[invite57a1e779]

Bonjour,

je cherche le maximum de la fonction suivante :

f(x,y)=A*(y-B-C*x)/(R(y^2+x^2)-D*y-E*x) où A,B,C,D,E et R sont des constantes.
J' ai donc dérivé f par x et par y et j obtiens un système de deux équations :
(1) RCx^2-RCy^2+2RBx+(CD+E)y-2Rxy=0
(2) Rx^2-Ry^2-(CD+E)x+2RBy+2RCxy=0

mais je n'arrive pas à résoudre ce système, pouvez vous m'aider ?
merci beaucoup

Je ne sois pas certain que ton sytème soit le bon, mais enfin...

Chaque équation est du second degré en comme en donc représente une conique.
Tu cherches donc l'intersection de deux coniques, soit quatre points.
Ce problème se ramène à équation du quatrième degré qui, sauf cas particuliers, n'est pas explicitement résoluble.

[invite40bb6564]

merci pour ta réponse, le problème c'est que ca fait 4 ans que j'ai pas entendu parler de coniques donc j'avoue je suis un peu perdue. Comment fait-on pour trouver les points d'intersection de deux coniques ?

[Duke Alchemist]

Bonjour.
De mon côté, je trouve :

(1) RCx^2-RCy^2+2RBx+(CD+E)y-2Rxy-BE=0
(2) Rx^2-Ry^2-(CD+E)x+2RBy+2RCxy-BD=0

Les coniques ont pour équation générale

ce que tu as ici.
On peut prouver que ce sont des hyperboles (à condition que R et C soient réels)

@ God's Breath : comment arrives-tu à une équation du 4ème degré ? (Je ne vois pas bien le cheminement... c'est peut-être évident...)

Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Les coniques ont pour équation générale

ce que tu as ici.

@ God's Breath : comment arrives-tu à une équation du 4ème degré ? (Je ne vois pas bien le cheminement... c'est peut-être évident...)

Lorsque tu veux déterminer l'intersection de deux coniques, tu es confronté à la résolution du système

que tu lis dans vu comme sous la forme
.
Or les deux polynômes en ont une racine commune si, et seulement si, leur résultant est nul.
Celui-ci est un polynôme du quatrième degré en dont les racines sont les abscisses des points d'intersection ces coniques.
Pour chacune d'elles, les deux polynômes en ont une racine commune qui est l'ordonnée du point correspondant.

Quand j'étais petit, on apprenait même que, pour deux polynômes du second degré, et , le résultant était donné par la jolie formule
.

[Duke Alchemist]

Merci beaucoup pour ces précisions God's Breath.

Une autre question : qu'appelles-tu "résultant" ?

[invite57a1e779]

Une autre question : qu'appelles-tu "résultant" ?

Le résultant de deux éléments et de est un élément de dont la nullité caractérise le fait que et ont une racine commune.
C'est très utilisé dans la pratique de l'élimination : et sont en fait des polynômes à variables, c.-à-d. que et le résultant a une variable de moins que les polynômes dont il est issu, ce qui permet de diminuer le nombre d'inconnues dans les équations.
Je te conseille la lecture de http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9sultant

[invite40bb6564]

merci pour vos réponses

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Le résultant de deux éléments et de est un élément de dont la nullité caractérise le fait que et ont une racine commune.
C'est très utilisé dans la pratique de l'élimination : et sont en fait des polynômes à variables, c.-à-d. que et le résultant a une variable de moins que les polynômes dont il est issu, ce qui permet de diminuer le nombre d'inconnues dans les équations.
Je te conseille la lecture de http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9sultant

Merci pour ces précisions, God's breath.
Je crois qu'une (re)mise à niveau s'impose avant de bien comprendre tous ces concepts (je parle pour moi bien sûr ).

Duke.