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système d'équation



  1. #1
    nini94

    Exclamation système d'équation


    ------

    Bonjour,

    je cherche le maximum de la fonction suivante :

    f(x,y)=A*(y-B-C*x)/(R(y^2+x^2)-D*y-E*x) où A,B,C,D,E et R sont des constantes.
    J' ai donc dérivé f par x et par y et j obtiens un système de deux équations :
    (1) RCx^2-RCy^2+2RBx+(CD+E)y-2Rxy=0
    (2) Rx^2-Ry^2-(CD+E)x+2RBy+2RCxy=0

    mais je n'arrive pas à résoudre ce système, pouvez vous m'aider ?
    merci beaucoup

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    God's Breath

    Re : système d'équation

    Citation Envoyé par nini94 Voir le message
    Bonjour,

    je cherche le maximum de la fonction suivante :

    f(x,y)=A*(y-B-C*x)/(R(y^2+x^2)-D*y-E*x) où A,B,C,D,E et R sont des constantes.
    J' ai donc dérivé f par x et par y et j obtiens un système de deux équations :
    (1) RCx^2-RCy^2+2RBx+(CD+E)y-2Rxy=0
    (2) Rx^2-Ry^2-(CD+E)x+2RBy+2RCxy=0

    mais je n'arrive pas à résoudre ce système, pouvez vous m'aider ?
    merci beaucoup
    Je ne sois pas certain que ton sytème soit le bon, mais enfin...

    Chaque équation est du second degré en comme en donc représente une conique.
    Tu cherches donc l'intersection de deux coniques, soit quatre points.
    Ce problème se ramène à équation du quatrième degré qui, sauf cas particuliers, n'est pas explicitement résoluble.

  4. #3
    nini94

    Re : système d'équation

    merci pour ta réponse, le problème c'est que ca fait 4 ans que j'ai pas entendu parler de coniques donc j'avoue je suis un peu perdue. Comment fait-on pour trouver les points d'intersection de deux coniques ?

  5. #4
    Duke Alchemist

    Re : système d'équation

    Bonjour.
    De mon côté, je trouve :
    (1) RCx^2-RCy^2+2RBx+(CD+E)y-2Rxy-BE=0
    (2) Rx^2-Ry^2-(CD+E)x+2RBy+2RCxy-BD=0
    Les coniques ont pour équation générale
    ce que tu as ici.
    On peut prouver que ce sont des hyperboles (à condition que R et C soient réels)

    @ God's Breath : comment arrives-tu à une équation du 4ème degré ? (Je ne vois pas bien le cheminement... c'est peut-être évident...)

    Duke.
    Dernière modification par Duke Alchemist ; 19/04/2008 à 17h36.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    God's Breath

    Re : système d'équation

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    Les coniques ont pour équation générale
    ce que tu as ici.

    @ God's Breath : comment arrives-tu à une équation du 4ème degré ? (Je ne vois pas bien le cheminement... c'est peut-être évident...)
    Lorsque tu veux déterminer l'intersection de deux coniques, tu es confronté à la résolution du système

    que tu lis dans vu comme sous la forme
    .
    Or les deux polynômes en ont une racine commune si, et seulement si, leur résultant est nul.
    Celui-ci est un polynôme du quatrième degré en dont les racines sont les abscisses des points d'intersection ces coniques.
    Pour chacune d'elles, les deux polynômes en ont une racine commune qui est l'ordonnée du point correspondant.

    Quand j'étais petit, on apprenait même que, pour deux polynômes du second degré, et , le résultant était donné par la jolie formule
    .

  8. #6
    Duke Alchemist

    Re : système d'équation

    Merci beaucoup pour ces précisions God's Breath.

    Une autre question : qu'appelles-tu "résultant" ?

  9. Publicité
  10. #7
    God's Breath

    Re : système d'équation

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    Une autre question : qu'appelles-tu "résultant" ?
    Le résultant de deux éléments et de est un élément de dont la nullité caractérise le fait que et ont une racine commune.
    C'est très utilisé dans la pratique de l'élimination : et sont en fait des polynômes à variables, c.-à-d. que et le résultant a une variable de moins que les polynômes dont il est issu, ce qui permet de diminuer le nombre d'inconnues dans les équations.
    Je te conseille la lecture de http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9sultant

  11. #8
    nini94

    Re : système d'équation

    merci pour vos réponses

  12. #9
    Duke Alchemist

    Re : système d'équation

    Bonjour.
    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Le résultant de deux éléments et de est un élément de dont la nullité caractérise le fait que et ont une racine commune.
    C'est très utilisé dans la pratique de l'élimination : et sont en fait des polynômes à variables, c.-à-d. que et le résultant a une variable de moins que les polynômes dont il est issu, ce qui permet de diminuer le nombre d'inconnues dans les équations.
    Je te conseille la lecture de http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9sultant
    Merci pour ces précisions, God's breath.
    Je crois qu'une (re)mise à niveau s'impose avant de bien comprendre tous ces concepts (je parle pour moi bien sûr ).

    Duke.

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