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système d'équation



  1. #1
    lilirose69

    Smile système d'équation


    ------

    Bonjour à tous ,voilà mon problème on me demande de résoudre ce système
    1+cos(x)+cos(y)=0
    sin(x)+sin(y)=0

    et je suis perdue je ne sais pas ou commencer?
    Pour les systèmes normaux en général j'exprime une inconnue en fonction d'une autre mais la je n'arrive pas à faire cela!Auriez vous une autre méthode ou pourriez vous m'expliquer comment appliquer cette méthode pour ce système?

    Merci d'avance, bonne journée!

    -----

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  3. #2
    martini_bird

    Re : système d'équation

    Salut,

    utilise la trigonométrie pour exprimer tes sommes de sinus/cosinus sous une forme plus sympa (Formules de factorisation).

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  4. #3
    yat

    Re : système d'équation

    Citation Envoyé par lilirose69 Voir le message
    1+cos(x)+cos(y)=0
    sin(x)+sin(y)=0
    Regarde dans quels cas de figures on a sin(x)+sin(y)=0.

    Dans ces différents cas tu peux en déduire une relation entre cos(x) et cos(y) et regarder si la première équation a une solution ou pas.

    Il ne te restera plus qu'un cas de figure qui te permettra de conclure.

  5. #4
    lilirose69

    Smile Re : système d'équation

    ok merci pour ta réponse!
    Bonne après midi!!!

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    lilirose69

    Smile Re : système d'équation

    dsl merci pour VOS réponses!!j'ai choisi de factoriser ca j'obtiens donc
    2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)=-1 j'ai donc remplacé -1 par cos 2pi/3 mais apres je bloque en fait je n'arrive pas à dissocier x de y?

  8. #6
    yat

    Re : système d'équation

    Citation Envoyé par lilirose69 Voir le message
    dsl merci pour VOS réponses!!j'ai choisi de factoriser ca j'obtiens donc
    2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)=-1 j'ai donc remplacé -1 par cos 2pi/3 mais apres je bloque en fait je n'arrive pas à dissocier x de y?
    Tout ça me parait bien violent par rapport à la simplicité du problème. Tu as essayé avec ma méthode ? J'obtiens le résultat, de tête, et en moins de 30 secondes.

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  10. #7
    lilirose69

    Smile Re : système d'équation

    ok j'ai bien regardé ta méthode mais moi la solution ne me vient pas du tout à l'esprit!!(je dois être lente!)nan ms je bloque sur les sinus comment dire pour quels x et y cela fait zéro j'ai bien tenté la formule type sin a = sin b mais j'obtiens des trucs assez bizarres!!

  11. #8
    ericcc

    Re : système d'équation

    En fait tu peux prendre les conseils de Yat et ceux de Martini : factorise la deuxième équation plutôt que la première.

  12. #9
    lilirose69

    Smile Re : système d'équation

    oui donc si je factorise la 2e j'obtiens 2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) =0

  13. #10
    ericcc

    Re : système d'équation

    A quelle condition un produit 2*A*B est il nul ?

  14. #11
    lilirose69

    Smile Re : système d'équation

    il faut que A ou B soit nul

  15. #12
    lilirose69

    Smile Re : système d'équation

    ah et donc je peux remplacer le zéro par un cosinus ou un sinus et je tombe sur une formule du type sin a = sin b c ca?

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  17. #13
    lilirose69

    Smile Re : système d'équation

    dc si je fais ca si sin(x+y)/2)=0 on alors x=-y ou x=2pi - yc juste?

  18. #14
    ericcc

    Re : système d'équation

    oui ! Fais de même avec le cosinus puis remplace dans ta première équation.

  19. #15
    yat

    Re : système d'équation

    Mais on n'a pas le droit de dire, comme ça, directement et sans se prendre la tête, que sin(x)+sin(y)=0 équivaut à x=-y ou x=pi-y, le tout modulo 2pi ? Je vois pas vraiment l'intérêt de factoriser ici...

  20. #16
    lilirose69

    Smile Re : système d'équation

    j'ai donc fait de m ac le cosinus et la j'obtiens x=pi +y ou x=-pi+y
    en remplacant ds ma 1ere équation j'ai alors cos(x)=-1/2 pour une des solutions trouvées avant c juste?

  21. #17
    yat

    Re : système d'équation

    Citation Envoyé par lilirose69 Voir le message
    en remplacant ds ma 1ere équation j'ai alors cos(x)=-1/2 pour une des solutions trouvées avant c juste?
    En effet

  22. #18
    lilirose69

    Smile Re : système d'équation

    ok merci ms juste une derniere question pour les autres solutions trouvées avant c'est à dire x=2pi-y ou x=pi+y ou x=-pi+y je l'ai ai toutes faites mais je trouve pas de réponses possibles c'est normal??car je tombe a chaque fois sur 1=0 ce qui est absurde!
    et oui aussi encore un dernier truc une fois que j'ai cos(x)=-1/2 cela ne me permet pas de trouver x?

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  24. #19
    ericcc

    Re : système d'équation

    Citation Envoyé par yat Voir le message
    Mais on n'a pas le droit de dire, comme ça, directement et sans se prendre la tête, que sin(x)+sin(y)=0 équivaut à x=-y ou x=pi-y, le tout modulo 2pi ? Je vois pas vraiment l'intérêt de factoriser ici...
    Si bien sûr, mais comme lilirose était partie sur une factorisation - et pour ne pas chagriner Martini - j'ai proposé cette méthode.

    Pour moi le plus simple est de faire un dessin et de voir les cas où sin(x)=-sin(y)

  25. #20
    yat

    Re : système d'équation

    Citation Envoyé par lilirose69 Voir le message
    ok merci ms juste une derniere question pour les autres solutions trouvées avant c'est à dire x=2pi-y ou x=pi+y ou x=-pi+y je l'ai ai toutes faites mais je trouve pas de réponses possibles c'est normal??car je tombe a chaque fois sur 1=0 ce qui est absurde!
    Oui, c'est normal : si y=pi+x, alors cos(x)=-cos(y).
    Citation Envoyé par lilirose69 Voir le message
    et oui aussi encore un dernier truc une fois que j'ai cos(x)=-1/2 cela ne me permet pas de trouver x?
    Tu dois bien au moins connaitre un angle dont le cosinus est 1/2. Un indice judicieuxement placé juste au dessus te permettra de déduire un angle qui a pour cosinus -1/2, et la parité de la fonction cosinus te donne la deuxième valeur.

  26. #21
    lilirose69

    Smile Re : système d'équation

    oui c'est encore moi en fait je m'étais trompée je trouve une réponse ac
    x=2pi-y je trouve pareil je trouve cos(x)=-1/2 mais pour les autres je trouve tjrs pas de réponses possibles?

  27. #22
    lilirose69

    Smile Re : système d'équation

    merci yat pour ton aide oui je connais les angles qui ont pour cosinus -1/2 mais je voulais juste savoir si je pouvais mettre ca comme ca car je me rapelle que l'an dernier on devait verifié en trouvant le sinus pour etre sur!

  28. #23
    yat

    Re : système d'équation

    Citation Envoyé par lilirose69 Voir le message
    oui c'est encore moi en fait je m'étais trompée je trouve une réponse ac
    x=2pi-y je trouve pareil je trouve cos(x)=-1/2 mais pour les autres je trouve tjrs pas de réponses possibles?
    Oui, enfin, bon, tu devrais raisonner en modulo 2pi, parce que sinon tu vas en avoir une bonne petite infinité, des solutions à vérifier. Donc les deux cas que tu as, c'est y=-x et y=pi+x. Dans un cas cos(x)=-1/2, dans l'autre il n'y a pas de solution.

  29. #24
    ericcc

    Re : système d'équation

    C'est normal la deuxième équation te donne plus de solutions que ton système.
    Imagine que ton système soit de la forme
    x+y+1=0
    x²-y²=0
    Tu aurais le même problème : la deuxième équation te donne x-y=0 ou x+y=0. Ce dernier cas te donnerait 1=0 dans la première équation...

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  31. #25
    yat

    Re : système d'équation

    Citation Envoyé par lilirose69 Voir le message
    merci yat pour ton aide oui je connais les angles qui ont pour cosinus -1/2 mais je voulais juste savoir si je pouvais mettre ca comme ca car je me rapelle que l'an dernier on devait verifié en trouvant le sinus pour etre sur!
    Euh... niveau raisonnement scolaire, je suis bien trop rouillé pour savoir exactement ce qu'on a le droit de faire et ce qu'on n'a pas le droit de faire. Ce dont je suis sur, c'est qu'il n'y a, modulo 2pi, que deux valeurs de x pour lesquelles cos(x)=-1/2.

  32. #26
    lilirose69

    Smile Re : système d'équation

    ok merci beaucoup à tous les deux j'ai donc mis que x et y pouvaient prendre les valeurs -2pi/3 et 2pi/3 c'est bon?

  33. #27
    yat

    Re : système d'équation

    Citation Envoyé par lilirose69 Voir le message
    ok merci beaucoup à tous les deux j'ai donc mis que x et y pouvaient prendre les valeurs -2pi/3 et 2pi/3 c'est bon?
    Oui, ou alors 2pi/3 et 4pi/3. Mais n'oublie pas le modulo 2pi

  34. #28
    lilirose69

    Smile Re : système d'équation

    ok merci beaucoup bonne soirée.

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