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Arithmétique de base



  1. #1
    invite43219988

    Arithmétique de base


    ------

    Bonjour, j'aimerais simplement savoir si le raisonnement suivant est juste :
    Soit .
    Je veux montrer que n'a pas de racines rationnelles.
    Par l'absurde, s'il admet une racine avec , on a :

    i.e.

    Ainsi, divise .
    Or, donc et par Gauss, divise .
    Comme divise , il doit diviser aussi . Ce qui est absurde puisque .

    Merci pour votre aide.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    God's Breath

    Re : Arithmétique de base

    On écrit en général la condition d'annulation sous les deux formes et .

    De on déduit que divise . Comme et sont premiers entre eux, on en déduit par le théorème de Gauss, que divise 1.

    De on déduit que divise . Comme et sont premiers entre eux, on en déduit par le théorème de Gauss, que divise 1.

    Les racines rationnelles éventuelles sont donc et , dont on vérifie facilement qu'elles ne conviennent pas.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    invite43219988

    Re : Arithmétique de base

    Merci bien !

  5. #4
    God's Breath

    Re : Arithmétique de base

    Ce serait peut-être plus clair avec un polynôme dont les coefficients essentiels ici ne sont pas égaux à 1.

    Pour , tu peux montrer que, si , avec , est racine de , alors divise , et divise , ce qui limite le nombre de racines rationnelles possibles. On termine en regardant « à la main » quelles sont les racines rationnelles effectives.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invite43219988

    Re : Arithmétique de base

    Merci pour ces précisions !

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