Arithmétique de base

[invitebb921944]

Bonjour, j'aimerais simplement savoir si le raisonnement suivant est juste :
Soit .
Je veux montrer que n'a pas de racines rationnelles.
Par l'absurde, s'il admet une racine avec , on a :

i.e.

Ainsi, divise .
Or, donc et par Gauss, divise .
Comme divise , il doit diviser aussi . Ce qui est absurde puisque .

Merci pour votre aide.
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[invite57a1e779]

On écrit en général la condition d'annulation sous les deux formes et .

De on déduit que divise . Comme et sont premiers entre eux, on en déduit par le théorème de Gauss, que divise 1.

De on déduit que divise . Comme et sont premiers entre eux, on en déduit par le théorème de Gauss, que divise 1.

Les racines rationnelles éventuelles sont donc et , dont on vérifie facilement qu'elles ne conviennent pas.

[invitebb921944]

Merci bien !

[invite57a1e779]

Ce serait peut-être plus clair avec un polynôme dont les coefficients essentiels ici ne sont pas égaux à 1.

Pour , tu peux montrer que, si , avec , est racine de , alors divise , et divise , ce qui limite le nombre de racines rationnelles possibles. On termine en regardant « à la main » quelles sont les racines rationnelles effectives.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Merci pour ces précisions !