GL(n,C)/SL(n,C)

[invite80487107]

slt tt le monde
GL(n,C)/SL(n,C) est isomorphe a quoi??
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[God's Breath]

Le déterminant étant un morphisme surjectif de dans , le quotient est isomorphe à .

[invite80487107]

merci j'ai bien compris
on défini l'homomorphisme det
det : GL(n,C)->C* A |-->det [A] dans C*
ker(det)={A / det[A]=1}=SL(n,C) d'après le théorème d'isomorphisme
GL(n,C)/SL(n,C) est isomorphe avec Im(det)

il suffit de montrer que Im(det) =C* c'est à dire que det est surjectif

[invite80487107]

on prend pour chaque y dans C* A={{y,..,0},{0,1,...,0},...,{0 .,...,1}}
det(A)=y
merci God's Breath

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite80487107]

mnt si on prend un autre exemple
meme question pour SL(n,R)/SO(n) ???
SL(n,R)/SO(n)={g'/g dans SL(n,R)}
g'={f dans SL(n,R) / gRf }; gRf<=>gf^-1 dans SO(n)
g'={f / transposé[gf^-1]gf^-1=In}
après on utilise aussi le theorème d'isomorphisme ??