Intégrité de R

[invite00970985]

Bonjour,

Dans mon cours, on m'assène brutalement que R est un anneau intègre ... anneau, je veux bien, ça se voit bien, mais intègre, même si on l'apprend au collège, on ne le démontre pas.

Je me suis dit que commencer par ensemble plus simple serait une bonne idée, donc je me suis penché sur N (qui n'est pas un anneau mais bref).

La démonstration que j'ai trouvé consiste à dire que si n est non nul :
. Or si . Donc m =0. On fait le même raisonnement en supposant m non nul.
donc on a bien mn=0 => m=0 ou n=0.

Et pour montrer (a+b=0 => a=b=0), j'ai utilisé la théorie des ensembles :
(une récurence sur b pour montrer cette évidence est il le plus simple ?)
or , donc .

Avant que je continue avec Z puis Q et R, est ce que mon raisonnement est bon ?
Est ce qu'il y a plus simple ?

Merci
-----

[invitec317278e]

Tout dépend quelles propriétés tu acceptes d'utiliser ;
Si tu acceptes que chaque réel non nul possède un inverse, alors, on a :
Supposons que xy=0, avec x et y non nuls.
Alors, en multipliant par l'inverse de x, on obtient y=0, ce qui contredit l'hypothèse...

Le problème auquel tu vas aboutir est que je ne suis pas sûr que ton cours définisse proprement l'addition et la multiplication dans R.


Maintenant, pour ton raisonnement pour N :
-la somme de m, pour k allant de 0 à n est erronée...il faut faire partir k à 1, mais c'est un détail.
-plutot que d'utiliser la théorie des ensembles, on peut tout aussi bien utiliser la relation d'ordre inférieur ou égal, qui traduit exactement ce que tu as dit.

[invite00970985]

Merci de ta réponse

Tout dépend quelles propriétés tu acceptes d'utiliser ;
Si tu acceptes que chaque réel non nul possède un inverse, alors, on a :
Supposons que xy=0, avec x et y non nuls.
Alors, en multipliant par l'inverse de x, on obtient y=0, ce qui contredit l'hypothèse...

Ok, mais comment montrer que chaque réel non nul possède un inverse ? (tant qu'à pinailler, autant pinailler jusqu'au bout )

Le problème auquel tu vas aboutir est que je ne suis pas sûr que ton cours définisse proprement l'addition et la multiplication dans R.

Justement, je me suis toujours demandé comment elle était définie ... tout comme la multiplication. As tu un lien à me conseiller ou une courte explication, si ce n'est pas trop long ? (dans Q et R si possible ) Et au passage, y a t il une définition ensembliste de la multiplication dans N ?

-plutot que d'utiliser la théorie des ensembles, on peut tout aussi bien utiliser la relation d'ordre inférieur ou égal, qui traduit exactement ce que tu as dit.

effectivement, je me suis un peu enflammé à vouloir utiliser mes toutes nouvelles lectures ...

Encore merci

[invitec317278e]

N étant construisible de manière ensembliste, si on y définit une addition, on peut certainement la définir en version ensembliste.

Mais en fait, je ne connais pas moi même de définition de l'addition et de la multiplication, à part dans N.

Dans Q je doute que ça pose problème : a/b + c/d = (ad+bc)/bd
et (a/b)*(c/d)=(ac)/(bd)

Dans R, c'est moins évident...
Je verrais personnellement un truc avec des limites de suites rationnelles, mais je ne connais pas de construction de R, donc dur.
Mais on peut imaginer que si on se donne deux réels a et b, alors, si on prend une suite de rationnels convergent vers a, et une suite de rationnels convergent vers b, alors, a+b peut être défini comme la limite de la suite

de même pour la multiplication.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ffe9b6a]

On peut construire Q comme quotient des paires d'entiers relatifs avec une bonne relation d'equivalence

EDIT: pour les réels il y a plusieurs constructions possibles à partir de Q.

-une avec les coupures de Dedekind.
-comme cloture de Q
-en rajoutant les bornes sups et infs des sous ensembles de Q

cependant je ne maitrise pas bien le sujet je pourrais pas en dire plus...

[invitec317278e]

En fait, sebsheep (pour préciser les propos d'antho), je ne sais pas si tu as déjà étudié les polynômes dans le supérieur...
Mais la construction de Q est analogue à la construction du corps des fractions de l'anneau des polynômes (programmes de sup' )

[invite769a1844]

Salut,


je ne crois pas que la clôture algébrique de IQ soit IR. Il y a des réels qui sont transcendants. A moins que tu parles d'une autre notion de clôture.

[invite769a1844]

On peut construire Q comme quotient des paires d'entiers relatifs avec une bonne relation d'equivalence

EDIT: pour les réels il y a plusieurs constructions possibles à partir de Q.

-une avec les coupures de Dedekind.
-comme cloture de Q
-en rajoutant les bornes sups et infs des sous ensembles de Q

cependant je ne maitrise pas bien le sujet je pourrais pas en dire plus...

rajouter les bornes sups et inf des sous-ensembles de IQ c'est la construction avec les coupures de Dedekind.

Il y a celle avec les suites de Cauchy, c'est la plus classique il me semble.

On prend E l'ensemble des suites de Cauchy, et on considère sur E la relation d'équivalence:

si pour tout rationnel , il existe un entier tel que

.

On définit alors IR comme l'ensemble quotient de .

Cette construction c'est pour compléter IR (on rend toutes les suites de Cauchy convergentes). Il me semble que la complétude de IR est équivalente à la propriété de la borne supérieure (construction de IR à l'aide des coupures de Dedekind).

[invite00970985]

et en ce qui concerne l'existence d'un inverse pour chaque réel non nul ?

[invite769a1844]

Tout dépend de la définition des réels dont tu pars, mais c'est le point le plus difficile à montrer. Il me semble que si l'on prend la construction de IR via les suites de Cauchy de rationnels c'est plus facile.
Je ne pense que ce soit utile de vérifier l'inversibilité des réels, sans comprendre comment est définie la multiplication.

Il y a les constructions et les preuves dans ces articles:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Constru...res_r%C3%A9els,

http://www.dma.ens.fr/culturemath/ma...ique/reels.pdf (construction par les suites de Cauchy de rationnels),

http://www.dma.ens.fr/culturemath/ma...iaDedekind.pdf (construction par les coupures de Dedekind)

[invitea41c27c1]

Salut,


je ne crois pas que la clôture algébrique de IQ soit IR. Il y a des réels qui sont transcendants. A moins que tu parles d'une autre notion de clôture.

Je crois qu'il a voulu dire complétion de (pour la norme usuelle évidemment).

Pour démontrer que est corps complet je te renvoie à la page
http://fr.wikipedia.org/wiki/Constru...res_r%C3%A9els

A noter qu'il y a une subtilité qui n'est pas soulignée sur cette page :
pour montrer que est complet on introduit une distance sur qui est elle même à valeur dans que l'on est en train de construire !!

[invite769a1844]

ok, j'aurais du m'en douter, mais c'était un peu tard

[Médiat]

A noter qu'il y a une subtilité qui n'est pas soulignée sur cette page :
pour montrer que est complet on introduit une distance sur qui est elle même à valeur dans que l'on est en train de construire !!

Pour montrer que est complet, il faut l'avoir construit avant, donc on peut bien y définir une distance, peut-être quelque chose m'échappe-t-il dans ta remarque ...

[invitea41c27c1]

Pour montrer que est complet, il faut l'avoir construit avant, donc on peut bien y définir une distance, peut-être quelque chose m'échappe-t-il dans ta remarque ...

Usuellement quand on complète un espace métrique en par les suites de Cauchy on définit la distance de deux suites par , mais pour faire ça il faut savoir que l'espace d'arrivée de est complet !
Mais là ça va, car ils n'ont pas définit la distance sur de cette façon, ils ont définit par , et du coup ce qui est moins clair c'est que si alors i.e. :
.

Ils ont dit que c'était vrai mais je trouve pas ça si trivial...

[Médiat]

.

Je ne trouve pas ton texte dans la page que tu as donné en lien, mais en tout état de cause, quand tu en es à définir une distance sur c'est que est défini, donc pas de problème (hormis les démonstrations à faire ).

[invite00970985]

Tout dépend de la définition des réels dont tu pars, mais c'est le point le plus difficile à montrer. Il me semble que si l'on prend la construction de IR via les suites de Cauchy de rationnels c'est plus facile.
Je ne pense que ce soit utile de vérifier l'inversibilité des réels, sans comprendre comment est définie la multiplication.

Il y a les constructions et les preuves dans ces articles:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Constru...res_r%C3%A9els,

http://www.dma.ens.fr/culturemath/ma...ique/reels.pdf (construction par les suites de Cauchy de rationnels),

http://www.dma.ens.fr/culturemath/ma...iaDedekind.pdf (construction par les coupures de Dedekind)

Merci beaucoup !Le pdf sur les suites de cauchy m'a beaucoup éclairé !