suite et encadrement

[invite3c444e00]

Bonjour et bonne année, j'espère que vous pourrez me donnez quelques indications ;

Je vous montre ce que j'ai fait et là où je bloque:

On pose, pour tout n dans N*,

J' ai tout d'abord montré que pour tout dans , on a: (1) en étudiant la fonction f(x)=ln(1+x)-x qui est décroissante d'où l'inégalité (1).

J'ai ensuite montré que on a: en partant de l'inégalité pour tout x dans [n;n+1]
, j'ai ensuite intégré par rapport à x sur [n;n+1]

Je ne vois pas comment montré que, pour tout n dans N*, on a :

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[Flyingsquirrel]

Salut,

Je ne vois pas comment montré que, pour tout n dans N*, on a :

On peut se servir des inégalités suivantes :

on a:

[invitebd020be0]

Un indice :

En partant de ln(n+1) - ln(n) <= 1/n, on obtient :

ln(n+1) <= 1/n + ln(n)

Donc :

ln(2) <= 1 + ln(1)
ln(3) <= 1/2 + ln(2)
ln(4) <= 1/3 + ln(3)
.
.
.
ln(n+1) <= 1/n + ln(n)

Somme ces termes, tu auras alors la moitié de l'inégalité. Ce n'est pas tellement différent ni plus difficile pour l'autre moitié. Si tu n'y arrives toujours pas, fais-nous signe !

Bon courage !

[invite3c444e00]

non désolé je ne vois pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Réécrivons les choses un peu différemment. On applique pour :

Si l'on somme toutes ces inégalités, qu'obtient-on ?

[invite3c444e00]

On obtient , j'ai trouvé pour la seconde partie de l'inégalité merci.

[invite3c444e00]

A la fin de la première partie de cette exercice on a l'encadrement suivant: et on en déduit que en + est équivalent à ln(n).

Un peu plus loin dans l'exercice considérant cette même suite () tel que:, on ose la relation de récurrence =1 et
Après une petite série de questions j'en ai déduis que cette suite est définie et strictement positif qu'elle est croissante strictement et divergente en +


que et l'on retrouve la limite de (un) trouvée précedemment qui est donc + si je ne m'abuse.

Par contre je ne vois pas comment montrer que, pour tout entier n on a:

[Flyingsquirrel]

Par contre je ne vois pas comment montrer que, pour tout entier n on a:

Déjà on voit grâce à que pour prouver cette inégalité il suffit de montrer que . Or on sait que pour tout entier , donc ce qui implique que pour , . Vois-tu ce que l'on peut faire de cette dernière inégalité ?

[invite3c444e00]

ne doit on pas partir de k=0 ?

[invite3c444e00]

non excusez j'ai rien dit tout ceci est vrai pour k>0.

[invite3c444e00]

ceci donne à première vu
+...+

mais bon que peut on faire de +...+.

[Flyingsquirrel]

ceci donne à première vu
+...+

Si tu « déduis » ça de (entre autres) tu as oublié le terme : tu aurais dû trouver

.

Pour répondre à la question il suffit donc de montrer que . Est-ce difficile ? (si tu es tenté de répondre « oui », écris sous la forme d'une somme et compare le premier terme de cette somme avec 1/3, le second terme avec 1/5, le troisième terme avec 1/7... le dernier terme avec )

[invite3c444e00]

Merci du conseil:On a en effet et donc on a bien:


Note: est ce que vous pensez qu'une analyse terme à terme pour montrer que est bien rigoureuse.

[Flyingsquirrel]

Note: est ce que vous pensez qu'une analyse terme à terme pour montrer que est bien rigoureuse.

Je pense que oui. Au cours de « l'analyse terme à terme » on affirme que pour , puis l'on somme ces inégalités pour allant de 1 à . Je ne vois rien de non rigoureux là-dedans. (je précise quand même que je ne suis pas prof de math )

Ceci dit tu peux aussi démontrer l'inégalité en utilisant une autre méthode : la récurrence.