Equation différentielle

[invited2b60f53]

bonjour, je serai heureux de recevoir votre aide pour la résolution de l'équation différentielle suivante:
x²y"-xy'+2y=sinx.
j'ai résolu l'équation homogène associée en utilisant la méthode d'Euler qui consiste à poser X=e^t et j'ai deux racines complexes conjuguées:r₁=1-i et r₂=1+i
donc y_H=C₁e^xcosx+C₂e^xsinx.
pour trouver la solution particulière, j'ai considéré l'équation suivante:
z"-2z'+2z=isine^t+cose^t=e^it mais j'ai des difficultés pour la résoudre.
merci d'avance.
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[invitec053041c]

Salut,

As-tu essayé la recherche de solutions sous forme de série entière? Bon ok, c'est du bulldozer, mais c'est une idée qui me passe par la tête..

[invited2b60f53]

bonjour, je serai heureux de recevoir votre aide pour la résolution de l'équation différentielle suivante:
x²y"-xy'+2y=sinx.
j'ai résolu l'équation homogène associée en utilisant la méthode d'Euler qui consiste à poser X=e^t et j'ai deux racines complexes conjuguées:r₁=1-i et r₂=1+i
donc y_H=C₁e^xcosx+C₂e^xsinx.
pour trouver la solution particulière, j'ai considéré l'équation suivante:
z"-2z'+2z=isine^t+cose^t=e^it mais j'ai des dificultés pour la résoudre.
merci d'avance.
j' ai fait une erreur en écrivant l'équation en z.
c'est:z"-2z'+2z=isine^t+cose^t=e^iet

[invited2b60f53]

c'est gentil mais on a pas encore fait les series entières.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef9f95d1e]

Petite erreur dans ta solution generale c'est y(x)=x*cos(ln(x)) sinon on peut pas faire disparaitre les x^2 et x. edit: Désolé j'imagine que c'etait pour z.

[invitef9f95d1e]

Je ne vois vraiment pas comment trouver de solutions, avec la methode de variation de la constante, j'arrive a des integrales de cos(ln(x))*sin(x) et ca je ne vois pas comment le resoudre.

[invited2b60f53]

tu as raison, j'ai fait une erreur en ecrivant la solution de l'équation homogène.j'ai oublié de revenir à la variable x.
mon probléme c'est omment résoudre l'équation en z.si cele est fait j'utilise la propriété qui dit que si une equation diff de la forme L(x;y,y',y",..)=m(x)+i n(x) a une solution de la forme u(x)+i v(x) alors , u(x) est une solution de l'equation L(x;y,y',y",...)=m(x) et v(x) celle de l'équation L(x;y,y',y"...)=n(x).