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Encadrement



  1. #1
    Alex3920

    Exclamation Encadrement


    ------

    Bonjour a tous je bloque sur un exercice.

    Montrer que pour tout reel x>0:
    (k+1)(x-1) =< x^(k+1)-1 =< (k+1)(x^k)(x-1)
    On evitera d'etudier des fonctions a l'aide de derivation mais on encadrera 1+x+x^2+...+x^k selon les valeurs de x

    Voila si qqn pouvait m'aider se serait sympa.

    -----

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  3. #2
    Alex3920

    Re : Encadrement

    j'ai trouvé 1+x+...+x^k=x^(k+1)-1/(x-1)
    mais ensuite je ne vois pas que faire

  4. #3
    NicoEnac

    Re : Encadrement

    Bonjour,

    Que vaut 1+x+x²+...+x^k ? Ca ne ressemble pas à quelque chose de connu ?

    EDIT : tu as trouvé pendant que j'écrivais mon message.
    "Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde

  5. #4
    Alex3920

    Re : Encadrement

    suite des premiers termes d'1 suite geometrique

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    NicoEnac

    Re : Encadrement

    Un autre indice : il y a (k+1) éléments dans la somme de gauche 1+x+...+x^k=x^(k+1)-1/(x-1)
    "Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde

  8. #6
    Alex3920

    Re : Encadrement

    j'avais deja trouvé ca , c'est après que je bloque

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  10. #7
    NicoEnac

    Re : Encadrement

    Pour x>1, comment sont les x^k par rapport à 1 ? Comment se situe la somme 1+x+x²+...x^k alors par rapport à 1+1+1+....+1 ?
    "Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde

  11. #8
    Alex3920

    Re : Encadrement

    x^(k+1)-1 > x-1

  12. #9
    NicoEnac

    Re : Encadrement

    quelquesoit k, on a : x>=1 => 1<= x^k donc
    1+1+....+1 <= 1+x+x²+...x^k
    Or la somme de 1 fait précisément (k+1) et de l'autre côté ce la fait (x^(k+1) -1)/(x-1)

    => (k+1) <= (x^(k+1) -1)/(x-1) => (k+1)(x-1) <= x^(k+1) -1

    Même raisonnement pour la deuxième partie de l'inégalité
    "Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde

  13. #10
    Alex3920

    Re : Encadrement

    a ok merci de ton aide Nico

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