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Ensemble des matrices 2x2, sous-espace vectoriel de M2(R)



  1. #1
    Marine_i

    Question Ensemble des matrices 2x2, sous-espace vectoriel de M2(R)


    ------

    Bonjour !
    Je ne sais pas du tout comment montrer ceci : pouvez-vous m'expliquer la méthode de raisonnement en détail svp ?

    Montrer que l'ensemble des matrice 2x2 réelles de la forme :
    (a + b ; - a - b
    (2b + c ; 0 )
    est un sous-espace vectoriel de M2(R) et donner sa dimension.

    (Je n'ai pas pu assister aux cours depuis un mois : un copain m'a passé ses cours mais il n'a pas écrit les détails, ni les méthodes).

    Merci pour votre aide

    -----
    Dernière modification par Marine_i ; 16/04/2007 à 17h35.

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  3. #2
    Youseph

    Re : Ensemble des matrices 2x2, sous-espace vectoriel de M2(R)

    Soit W un sous-espace de V, un K-espace véctoriel.

    W est un sous espace vectoriel de V, si:

    (i) W n'est pas vide
    (ii) w1,w2 appartiennent à W. Alors cela implique que (w1+w2) appartient aussi à W
    (iii) w appartient à W, x appartient à un coprs K. Cela implique que xV appartient aussi à W.

    Pour la dimension, il suffit d'étudier l'image de ta matrice.

  4. #3
    jozog47

    Re : Ensemble des matrices 2x2, sous-espace vectoriel de M2(R)

    Je suis ces cours en ce moment même donc je pense pouvoir te répondre xD

    Pour montrer ça, il te suffit de montrer que :
    - Le O de M2(R) appartient à l'ensemble des matrice 2x2 que tu considères : c'est une condition ncessaire pour que ton ensemble soit un sous-espace vectoriel de M2(R). En passant, tu montres aussi que ton ensemble n'est pas vide.
    - Ensuite tu considère 2 matrices A et B de ton ensemble et tu montres que kA+B appartient à ton ensemble où k est réel.

    En ce qui concerne la dimension, je n'ai pas encore étudie ça...

  5. #4
    invite986312212
    Invité

    Re : Ensemble des matrices 2x2, sous-espace vectoriel de M2(R)

    salut,

    tu peux aussi étudier l'application de R^3 dans M2(R) qui à (a,b,c) associe la matrice dont tu donnes la forme. Si cette application avait la bonne idée d'être linéaire, son image serait ipso facto un sev de M2(R) et si de plus tu peux calculer la dimension de son noyau, tu en déduiras la dimension de ladite image.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Leonidas9

    Re : Ensemble des matrices 2x2, sous-espace vectoriel de M2(R)

    Slt Marine, j'ai retenu qlq trucs de ma prépa peut-être ke ca pourra t'aider...

    i) Déjà essaie de montrer que c'est une base

    ii) c'ad que ta matrice est inversible ==> déterminant différent de zéo ( déterminant d'une matrice 2*2 easy !)

    iii) ensuite montrent que tes vecteurs st indépendants , c'a d les colonnes st indépendantes 2 à 2.

    Ta matrice engendrera lors R² . Ensuite, comme ( à vérifier) il existe un isomorphisme entre M²(R) et R², c'est comme si tu engendrais M²(R). Ce dernier point reste à vérifier... ca fait trois ans maintenant que je n'ai pu fait d'algèbre linéaire...

    J'espère seulement avoir pu te donner des pistes @ +

  8. #6
    Marine_i

    Re : Ensemble des matrices 2x2, sous-espace vectoriel de M2(R)

    Merci à vous ^^ en particulier Leonidas9 pour les détails

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  10. #7
    engineer1981

    Re : Ensemble des matrices 2x2, sous-espace vectoriel de M2(R)

    Bonjour tout le monde,

    >Slt Marine, j'ai retenu qlq trucs de ma prépa peut-être ke ca pourra t'aider...
    >i) Déjà essaie de montrer que c'est une base
    >ii) c'ad que ta matrice est inversible ==> déterminant différent de zéo ( >déterminant d'une matrice 2*2 easy !)

    >iii) ensuite montrent que tes vecteurs st indépendants , c'a d les colonnes st >indépendantes 2 à 2.

    >Ta matrice engendrera lors R² . Ensuite, comme ( à vérifier) il existe un >isomorphisme entre M²(R) et R², c'est comme si tu engendrais M²(R). Ce >dernier point reste à vérifier... ca fait trois ans maintenant que je n'ai pu fait >d'algèbre linéaire...

    >J'espère seulement avoir pu te donner des pistes @ +

    est-ce que quelqu'un peut me donner les détails de la démonstration pour déterminer la dimension de l'ensemble des matrice 2x2 réelles de la forme :
    (a + b ; - a - b)
    (2b + c ; 0 ) ?


    Merci beaucoup pour votre aide,

  11. #8
    God's Breath

    Re : Ensemble des matrices 2x2, sous-espace vectoriel de M2(R)

    Bonjour,

    Une jolie réponse à une question vieille de plus de 18 mois.

    Citation Envoyé par engineer1981 Voir le message
    est-ce que quelqu'un peut me donner les détails de la démonstration pour déterminer la dimension de l'ensemble des matrice 2x2 réelles de la forme :
    (a + b ; - a - b)
    (2b + c ; 0 ) ?
    Tout simplement .

    La famille est génératrice, et il n'est pas très difficile de prouver qu'elle est libre...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  12. #9
    engineer1981

    Re : Ensemble des matrices 2x2, sous-espace vectoriel de M2(R)

    Merci beaucoup pour ta rapide réponse,

    ...une fois démontrer qu'elle est libre alors la dimension de l'espace des matrices de cette forme = 3 ?
    si il n'y avait pas le troisième paramètre c alors en suivant ce raisonnement et vérifiant les conditions (generatrice + libre), j'aurais un espace de dimension 2. est-ce vrai?...désolé pour ces qustions qui peuvent te paraitre facile mais je n'ai pas touché aux espaces vect. depuis qq annees

    Merci pour ton aide

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