Ensemble des matrices 2x2, sous-espace vectoriel de M2(R)
Bonjour !
Je ne sais pas du tout comment montrer ceci : pouvez-vous m'expliquer la méthode de raisonnement en détail svp ?
Montrer que l'ensemble des matrice 2x2 réelles de la forme :
(a + b ; - a - b
(2b + c ; 0 )
est un sous-espace vectoriel de M2(R) et donner sa dimension.
(Je n'ai pas pu assister aux cours depuis un mois : un copain m'a passé ses cours mais il n'a pas écrit les détails, ni les méthodes).
Merci pour votre aide
Soit W un sous-espace de V, un K-espace véctoriel.
W est un sous espace vectoriel de V, si:
(i) W n'est pas vide
(ii) w1,w2 appartiennent à W. Alors cela implique que (w1+w2) appartient aussi à W
(iii) w appartient à W, x appartient à un coprs K. Cela implique que xV appartient aussi à W.
Pour la dimension, il suffit d'étudier l'image de ta matrice.
Je suis ces cours en ce moment même donc je pense pouvoir te répondre xD
Pour montrer ça, il te suffit de montrer que :
- Le O de M2(R) appartient à l'ensemble des matrice 2x2 que tu considères : c'est une condition ncessaire pour que ton ensemble soit un sous-espace vectoriel de M2(R). En passant, tu montres aussi que ton ensemble n'est pas vide.
- Ensuite tu considère 2 matrices A et B de ton ensemble et tu montres que kA+B appartient à ton ensemble où k est réel.
En ce qui concerne la dimension, je n'ai pas encore étudie ça...
salut,
tu peux aussi étudier l'application de R^3 dans M2(R) qui à (a,b,c) associe la matrice dont tu donnes la forme. Si cette application avait la bonne idée d'être linéaire, son image serait ipso facto un sev de M2(R) et si de plus tu peux calculer la dimension de son noyau, tu en déduiras la dimension de ladite image.
Slt Marine, j'ai retenu qlq trucs de ma prépa peut-être ke ca pourra t'aider...
i) Déjà essaie de montrer que c'est une base
ii) c'ad que ta matrice est inversible ==> déterminant différent de zéo ( déterminant d'une matrice 2*2 easy !)
iii) ensuite montrent que tes vecteurs st indépendants , c'a d les colonnes st indépendantes 2 à 2.
Ta matrice engendrera lors R² . Ensuite, comme ( à vérifier) il existe un isomorphisme entre M²(R) et R², c'est comme si tu engendrais M²(R). Ce dernier point reste à vérifier... ca fait trois ans maintenant que je n'ai pu fait d'algèbre linéaire...
J'espère seulement avoir pu te donner des pistes @ +
Merci à vous ^^ en particulier Leonidas9 pour les détails
Bonjour tout le monde,
>Slt Marine, j'ai retenu qlq trucs de ma prépa peut-être ke ca pourra t'aider...
>i) Déjà essaie de montrer que c'est une base
>ii) c'ad que ta matrice est inversible ==> déterminant différent de zéo ( >déterminant d'une matrice 2*2 easy !)
>iii) ensuite montrent que tes vecteurs st indépendants , c'a d les colonnes st >indépendantes 2 à 2.
>Ta matrice engendrera lors R² . Ensuite, comme ( à vérifier) il existe un >isomorphisme entre M²(R) et R², c'est comme si tu engendrais M²(R). Ce >dernier point reste à vérifier... ca fait trois ans maintenant que je n'ai pu fait >d'algèbre linéaire...
>J'espère seulement avoir pu te donner des pistes @ +
est-ce que quelqu'un peut me donner les détails de la démonstration pour déterminer la dimension de l'ensemble des matrice 2x2 réelles de la forme :
(a + b ; - a - b)
(2b + c ; 0 ) ?
Merci beaucoup pour votre aide,
Bonjour,
Une jolie réponse à une question vieille de plus de 18 mois.
Tout simplementEnvoyé par engineer1981
.
La famille
Merci beaucoup pour ta rapide réponse,
...une fois démontrer qu'elle est libre alors la dimension de l'espace des matrices de cette forme = 3 ?
si il n'y avait pas le troisième paramètre c alors en suivant ce raisonnement et vérifiant les conditions (generatrice + libre), j'aurais un espace de dimension 2. est-ce vrai?...désolé pour ces qustions qui peuvent te paraitre facile mais je n'ai pas touché aux espaces vect. depuis qq annees
Merci pour ton aide
