sous espace vectoriel

[invite5d1cc25a]

bonjour tout le monde j'ai un souci avec cet exercice

je dois prouver que l'ensemble S des (x,y,z) de R^3 tels que x^2+2y^2+2z^2+2xy+2zx=0 est un sous espace vectoriel de R^3
j'ai donc d'abord montrer que (0,0,0) appartient a s
puis ensuite j'ai poser f(x,y,z)=x^2+2y^2+2z^2+2xy+2zx =0
puis si x1,y1,z1 est dans S alors f(x1,y1,z1)=0 et j'ai fait de meme pour x2,y2,z2
mais lorsque que je calcule f(x1+x2,y1+y2,z1+z2) je ne trouve pas 0
est ce une erreur de calcul ou de raisonnement?

il faut que je resolve ce probleme en trois points si 0 appartient au sev, puis la verification de l'addition et de la multiplication

j'ai aussi essayer une autre methode en remplacant x^2+2y^2+2z^2+2xy+2zx=0 par (x+y+z)²+(y-z)² mais malheureusement j'arrive pas la suite

je precise aussi que je suis en premiere année en informatique donc mes connaissances en espaces vectoriels sont assez limitées

merci de votre aide
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[invited5b2473a]

f(x,y,z)=x²+2y²+2z²+2xy+2xz=(x +y+z)²+y²+z²-2yz
=(x+y+z)²+(y-z)²
f(x,y,z)=0 ssi x+y+z=0 et y=z ssi x=-2z et y=z.
C'est une droite passant par 0 donc c'est bien un sous espace vectoriel de .

[invite5d1cc25a]

il me semblai qu'il fallai demontrer 3 points pour prouver que c'est un sous espace ?
le premier que 0 appartient a l'ensemble puis l'addition et la multiplication

[invited5b2473a]

Une droite passant par 0 est forcément un sous-espace: il s'agit ici de l'ensemble (-2,1,1). Une manière d'appréhender les ev c'est de bien voir qu'un sous-ev est un ensemble stable. Or pour une droite passant par 0, c'est immédiat.

[A voir en vidéo sur Futura]