sous espace vectoriel

[invite81b3833e]

bonjour,
voilà j'aimerais qu'on me donne la méthode pour prouver qu'un ensemble est un sev d'un autre. je sais qu'il faut prouver que cette ensemble contient 0 t est stable par combinaison linéaire , mais en patique je n'y arrive pas.


par exemple je coince sur cet exercice

soit E le Respace vectoriel des application de R dans R.
soit F={fappartenant à E, f(0)+2f(1)=0}
montrer que F est un sous espace vectoriel de E.

je sais que pour cela il faut que je montre que F contient 0 et que c'est stable par combinaison linéaire.

j'ai essayé de le rédiger comme ça mais après je suis bloquée:



soit f et g appatenant à F
f(0)+ 2f(1) =0
g(0)+ 2g(1)=0
soit lamba et et bata apartenant à R
(lambda *f + beta*g)(0) +(2(lambda *f+beta*g))(1)
= lambda*f(0)+beta*g(0)+ 2(lambda*f(1) +beta *g(1))
=lambda*f(0)+beta*g(0)+2*lamba *f(1)+2beta*g(1)
=lambda*f(0)+2lamba*f(1)+beta* g(0)+2beta*g(1)
=lambda(f(0)+2f(1)) + beta*(g(0)+2g(1))

et là on sait que
f(0)+ 2f(1) =0
g(0)+ 2g(1)=0
appartiennent à F mais pas que
lambda(f(0)+2f(1)) et beta*(g(0)+2g(1)) appartiennent à F
alors comment je dois faire ?

est-ce ue vous pourriez m'expliquer comment le rédiger corectement et comment je peux prouver que 0 appartient à F ? intuitivement c'est très clair pr moi mais je ne sais pas comment le rédiger sur une copie

merci
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[Futura]

salut,

oui sev : non vide et stable par combinaison linéaire, c'est la manière la plus rapide de montrer cela.

1\ tu as bien l'application nulle qui vérifie l'égalité

2\ ensuite, bien tu prends une CL :

tu considères l'application h = lambda *f + beta*g et ton but est de montrer que h appartient à F, donc vérifie h(0)+2h(1)=0. Donc là ensuite ton raisonnement est bon : tu développes et tu utilises les hypo sur f et g pour tomber sur h(0)+2h(1)=0, donc h est bien dans ton sev qui est bien stable par CL.

Futura

[Coincoin]

Salut,

et là on sait que
f(0)+ 2f(1) =0
g(0)+ 2g(1)=0
appartiennent à F mais pas que
lambda(f(0)+2f(1)) et beta*(g(0)+2g(1)) appartiennent à F
alors comment je dois faire ?

Je crois que tu t'embrouilles là: il ne faut pas confondre f(0)+2f(1) qui est un nombre et f qui est une fonction.
Pour que ça soit plus clair, appelons h la fonction lambda*f+beta*g.
On veut donc montrer que h(0)+2h(1)=0.
Donc comme tu l'as montré, h(0)+2h(1)=lambda*(f(0)+2f(1)) + beta*(g(0)+2g(1)) =0.
Donc h=lambda*f+beta*g € F. F est stable par combinaison linéaire.

Ensuite, il faut montrer que la fonction nulle appartient à F. Soit h la fonction nulle: pour tour x€R, h(x)=0
Alors h(0)+2h(1)=0+2*0=0, donc h€F

Donc F est bien un sous-espace vectoriel de E

Voilà...

PS Je supose que vous n'avez pas encore vu ce qu'était un noyau d'application linéaire?

[invite81b3833e]

pour l'histoire de la combinaiso je pense avoir compris mais tt n'est pas encore très clair ! alors si on reprend
j'écris lambda(f(0)+2f(1)) + beta*(g(0)+2g(1)) =0
donc lamba f+beta g =0
donc lambda f+ beta g appartient F et F est stable par combinaison linéaire ?
je n'introduis pas la fonction h ici, juste pour savoir si jai bien compris le raisonnement et pour savoir si jai le droit de passer de cette ligne

lambda(f(0)+2f(1)) + beta*(g(0)+2g(1)) =0
à celle là
donc lamba f+beta g =0

en revanche pour le 0 je n'ai pas compris. quand vous dites : "Soit h la fonction nulle" , c'est la même fonction que celle que vous utliser au dessus, c a d lambda f + beta g ?
est ce que j'ai le droit de l'appeler f, puisque dans l'énoncé on parle de f et de dire

Soit f la fonction nulle: pour tour x€R, f(x)=0 (là je prends la fonction de l'énoncé)
Alors f(0)+2f(1)=0+2*0=0, donc 0€F quand j'écris 0 je prends le réel 0. dans ce cas il faut montrer que le reel 0 appartient F et non la fonction nulle ? je ne me trompe ou pas ? il ets vrai que j'ai du mal entre réel et fonction.

quand on dit soit f la fonction nulle ? c la fonction constante qui donne le réel zero quel que soit x ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite81b3833e]

ah j'ai oublié de répondre à votre question

nous avons vu les noyaux d'applications injectives mais ça a un rapport avec cet exercice ?

[Coincoin]

le reel 0 appartient F

Ceci n'a aucun sens!!! F est un ensemble d'applications... un réel ne peut donc pas appartenir à F...

lambda(f(0)+2f(1)) + beta*(g(0)+2g(1)) =0
donc lamba f+beta g =0
donc lambda f+ beta g appartient F

La 2e ligne est fausse... et ne sert à rien. Ce que tu veux montrer c'est que l'application h=lambda f +beta g vérifie la relation h(0)+2h(1)=0, ce qui est tout à fait possible sans que cette fonction soit nulle.

quand on dit soit f la fonction nulle ? c la fonction constante qui donne le réel zero quel que soit x ?

Exactement.

Pour ce qui est de la fonction nulle, j'avue que je n'aurais pas dû réutiliser la lettre h... mais c'est pour ne pas mélanger la fonction nulle et le réel 0. On peut très bien l'appeler f. Ce qu'on veut vérifier c'est que la fonction nulle appartient à F, c'est à dire que le réel f(0)+2*f(1) est nul. Vu que les réels f(0) et f(1) sont nuls (car la fonction nulle est nulle sur tout R par définition), ça marche. Donc la fonction nulle appartient bien à F.

Il est important de toujours savoir si ce dont tu parles est une fonction ou un réel.

PS Pour ce qui est des noyaux, un autre moyen de résoudre cet exercice est de d'utiliser la propriété qui dit qu'un noyau d'application linéaire est un espace-vectoriel, en utilisant l'application linéaire qui à la fonction f associe le réel f(0)+2f(1). Mais j'avoue qu'en fait c'est plutôt inutile ici, vu que je viens de me rendre compte que vérifier si l'application est linéaire est aussi long. Bref, pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué?

[Quinto]

Vous vous prenez la tete pour rien:
l'ensemble des applications réelles est un R-ev
on sait que (af+bg)(x)=a(f(x))+b(f(x)) par définition de la somme et du produit par un scalaire.

il suffit de remarquer que c'est encore vrai aux points x=0 et x=1 et c'est fini.

[Coincoin]

J'ai peur de ne pas bien comprendre...
En clair tu es en train de dire que l'application f->f(0)+2f(1) est linéaire, c'est ça? Je tiens juste à faire remarquer que {f€E / f(0)+2f(1)=1} n'est pas un ev... Ou bien tu dis qu'il est évident que F est stable par combianaison linéaire?
Et puis, de toute façon même si le résultat est évident, ce qu'on veut c'est le rédiger proprement.