Résolution d'une equation diff

[invitecfdae1a3]

Coucou tout le monde.
J'aimerais résoudre une équation différentielle qui me pose un peu de souci : xy' -y = ln | 1+x | (E)

Donc il faut calculer la solution générale sur chacun des intervalles où c'est possible et déterminer les solutions maximales.

Ce que j'ai fait :
On se place sur un intervalle où le coefficient de y' ne s'annulent pas et où ln |1+x| est définie.
Donc on travaille sur ]-∞;-1[ , ]-1;0[ , ]0;+∞[

(E): xy' -y = ln | 1+x |
(H): xy' -y = 0

Donc la générale de (H) est assez évidente puisqu'une primitive de 1/x est ln x donc y(x) = C*x

Puis suivant les intervalles, j'ai essayé de trouver une solution particulière de (E) avec la méthode de la variation de la constante, mais je m'entraine vers des calculs monstrueux ...
Quelqu'un pourrait-il me guider ?

Ah oui, j'ai une autre petite question :
sur ]-∞;-1[ et ]-1;0[ , (E) : xy' - y = ln (-1-x)
et sur ]0;+∞[, (E) : xy' -y = ln(1+x)
Je me trompe pas ?
-----

[invite57a1e779]

Puis suivant les intervalles, j'ai essayé de trouver une solution particulière de (E) avec la méthode de la variation de la constante, mais je m'entraine vers des calculs monstrueux ...
Quelqu'un pourrait-il me guider ?

Ah oui, j'ai une autre petite question :
sur ]-∞;-1[ et ]-1;0[ , (E) : xy' - y = ln (-1-x)
et sur ]0;+∞[, (E) : xy' -y = ln(1+x)
Je me trompe pas ?

Sur ce dernier point tu ne te trompes pas.

Quant à la variation de la constante, je ne vois rien de monstrueux, on cherche les solutions sous la forme , donc , ce qui, reporté dans l'équation différentielle, conduit à et une bête intégration par parties conduit au calcul de ...

[invite7c37b5cb]

Bonjour

xy'-y=ln|1+x|; (xy'-y)/x²=1/x²*ln|1+x|;

(y/x)'=1/x²*ln|1+x|; y/x=int [ln|1+x]/x²*dx