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Résolution d'une equation diff



  1. #1
    Pitai

    Thumbs down Résolution d'une equation diff


    ------

    Bonjour tout le monde !
    J'ai une toute petite équa diff à résoudre (E) : y'' + y = tan x avec comme indication : faire le changement d'inconnue : y(x) = z(x) cos (x)

    Pour ma part, j'ai dérivé 2 fois z(x)cos(x) et j'ai remplace dans (E) ce qui me donne :
    (E) : z'' cos x - 2 z' sinx = tan x
    (H) : z'' cos x - 2 z' sinx = 0
    (C) : r² cos x - r sin x = 0

    Donc l'équation caractéristique admet 2 racines : tan x et 0
    donc la solution générale de (H) = λexp^(x*tanx) + µ

    Et je cherche maintenant une solution particulière de (E) qui doit sous la forme x*Q(x) où Q est de degré 1.

    donc z = x ( ax+b) = ax² +b
    z' = (2ax +b) que je multiplie par (-2 sinx) d'après les coeff de z' dans (E)

    z''= 2a que je multiplie par (cosx) de la même manière

    donc (E) : tan x = z'' cos x - 2 z' sinx = x (-4a sinx) + 2 (a cosx - bsinx)

    qui me donne le système en identifiant :

    -4a sinx = 0
    2 (a cos x -b sinx) = tan x

    soit a =0 et b = -1/ (2cosx)

    donc une solution particulière de (E) est z(x) = - x/(2cosx)


    Le problème est là, quand je vérifie, je tombe pas sur ce qu'il faut
    Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : Résolution d'une equation diff

    Citation Envoyé par Pitai Voir le message
    Bonjour tout le monde !
    J'ai une toute petite équa diff à résoudre (E) : y'' + y = tan x avec comme indication : faire le changement d'inconnue : y(x) = z(x) cos (x)

    Pour ma part, j'ai dérivé 2 fois z(x)cos(x) et j'ai remplace dans (E) ce qui me donne :
    (E) : z'' cos x - 2 z' sinx = tan x
    (H) : z'' cos x - 2 z' sinx = 0
    (C) : r² cos x - r sin x = 0

    Donc l'équation caractéristique admet 2 racines
    L'équation caractéristique n'est définie que pour les équations linéaires à coefficients constants; or il me semble que ni , ni ne sont constants...
    Par contre, en posant , on a , qui est une équation différentielle du premier ordre.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  3. #3
    Pitai

    Re : Résolution d'une equation diff

    c'est-à-dire qu'il faut faire un 2e changement de variable ?

  4. #4
    God's Breath

    Re : Résolution d'une equation diff

    On peut directement raisonner sur l'équation en z', je l'ai appelé u pour que ce soit plus clair...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Pitai

    Re : Résolution d'une equation diff

    Je donne un peu de mes nouvelles :
    on a :

    (E) : z'' cos x - 2z' sin x = tan x
    on pose z' = u pour se ramener à une équa diff du 1er ordre, ce qui donne :

    (E) : u' cos x - 2u sinx = tan x
    (H): u' cos x - 2 u sinx =0

    Donc on se place sur un intervalle où cos x ne s'annulent pa
    D'après (E), en isolant u', u' = (2u sinx)/ cos x = 2 tanx u
    Une primitive de 2 tanx est -2ln(cosx)

    donc la solution générale de (H) est : u(x) = C*exp^(-2ln(cosx))

    maintenant, je cherche une solution particulière de (E).
    Je trouve une solution évidente : u(x) = -1/cos x

    Donc la solution générale de (E) est u(x) = C* 1/(exp^[2ln(cosx)] -1/cosx

    comme on avait posé z'=u, on a:
    z'=C* 1/(exp^[2ln(cosx)] -1/cosx

    Je primitive z ce qui donne : z(x) = C* exp^[-2 ln(cosx)]/ (2 tanx) - ln[ tan(x/2 + pi/4) ]

    Or on avait posé y = z(x)* cos (x)

    DONC LA SOLUTION GENERALE DE (E) est
    :y(x) = C* exp^[-2 ln(cosx)]/ (2 tanx) - ln[ tan(x/2 + pi/4) ] le tout multiplié par cos x


    vrai ? (oulà, c'était fastidieux à écrire ! j'espère que quelqu'un prendra la peine de me relire : merci d'avance )

  7. #6
    God's Breath

    Re : Résolution d'une equation diff

    Ce serait plus pratique de remplacer par ... sinon tu as des problèmes sur les intervalles où ...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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