Résolution d'une equation diff

[inviteb473d51f]

Bonjour tout le monde !
J'ai une toute petite équa diff à résoudre (E) : y'' + y = tan x avec comme indication : faire le changement d'inconnue : y(x) = z(x) cos (x)

Pour ma part, j'ai dérivé 2 fois z(x)cos(x) et j'ai remplace dans (E) ce qui me donne :
(E) : z'' cos x - 2 z' sinx = tan x
(H) : z'' cos x - 2 z' sinx = 0
(C) : r² cos x - r sin x = 0

Donc l'équation caractéristique admet 2 racines : tan x et 0
donc la solution générale de (H) = λexp^(x*tanx) + µ

Et je cherche maintenant une solution particulière de (E) qui doit sous la forme x*Q(x) où Q est de degré 1.

donc z = x ( ax+b) = ax² +b
z' = (2ax +b) que je multiplie par (-2 sinx) d'après les coeff de z' dans (E)

z''= 2a que je multiplie par (cosx) de la même manière

donc (E) : tan x = z'' cos x - 2 z' sinx = x (-4a sinx) + 2 (a cosx - bsinx)

qui me donne le système en identifiant :

-4a sinx = 0
2 (a cos x -b sinx) = tan x

soit a =0 et b = -1/ (2cosx)

donc une solution particulière de (E) est z(x) = - x/(2cosx)


Le problème est là, quand je vérifie, je tombe pas sur ce qu'il faut
Quelqu'un pourrait-il m'aider ?
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[God's Breath]

Bonjour tout le monde !
J'ai une toute petite équa diff à résoudre (E) : y'' + y = tan x avec comme indication : faire le changement d'inconnue : y(x) = z(x) cos (x)

Pour ma part, j'ai dérivé 2 fois z(x)cos(x) et j'ai remplace dans (E) ce qui me donne :
(E) : z'' cos x - 2 z' sinx = tan x
(H) : z'' cos x - 2 z' sinx = 0
(C) : r² cos x - r sin x = 0

Donc l'équation caractéristique admet 2 racines

L'équation caractéristique n'est définie que pour les équations linéaires à coefficients constants; or il me semble que ni , ni ne sont constants...
Par contre, en posant , on a , qui est une équation différentielle du premier ordre.

[inviteb473d51f]

c'est-à-dire qu'il faut faire un 2e changement de variable ?

[God's Breath]

On peut directement raisonner sur l'équation en z', je l'ai appelé u pour que ce soit plus clair...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb473d51f]

Je donne un peu de mes nouvelles :
on a :

(E) : z'' cos x - 2z' sin x = tan x
on pose z' = u pour se ramener à une équa diff du 1er ordre, ce qui donne :

(E) : u' cos x - 2u sinx = tan x
(H): u' cos x - 2 u sinx =0

Donc on se place sur un intervalle où cos x ne s'annulent pa
D'après (E), en isolant u', u' = (2u sinx)/ cos x = 2 tanx u
Une primitive de 2 tanx est -2ln(cosx)

donc la solution générale de (H) est : u(x) = C*exp^(-2ln(cosx))

maintenant, je cherche une solution particulière de (E).
Je trouve une solution évidente : u(x) = -1/cos x

Donc la solution générale de (E) est u(x) = C* 1/(exp^[2ln(cosx)] -1/cosx

comme on avait posé z'=u, on a:
z'=C* 1/(exp^[2ln(cosx)] -1/cosx

Je primitive z ce qui donne : z(x) = C* exp^[-2 ln(cosx)]/ (2 tanx) - ln[ tan(x/2 + pi/4) ]

Or on avait posé y = z(x)* cos (x)

DONC LA SOLUTION GENERALE DE (E) est
:y(x) = C* exp^[-2 ln(cosx)]/ (2 tanx) - ln[ tan(x/2 + pi/4) ] le tout multiplié par cos x


vrai ? (oulà, c'était fastidieux à écrire ! j'espère que quelqu'un prendra la peine de me relire : merci d'avance )

[God's Breath]

Ce serait plus pratique de remplacer par ... sinon tu as des problèmes sur les intervalles où ...