construction d'une application linéaire

[invitee4c99c8e]

Bonjour,

je ne comprend pas trés bien une preuve ou on cherche à construire une application linéaire .
Enoncé : Soient E,F,G 3 K-ev , f : F-->G et g:E-->G
Mq : Im(g) C Im(f) <--> existe k : E-->F , g=fok

on cherche à établir la condition nécessaire pour celà on sq Im(g) C Im(f) .
Ker(f) admet au moins un supplémentaire H dans F
Soit x£ E on a g(x)£ Im(g)C Im(f) donc existe y £ F tq g(x)=f(y)
De plus , exist (u,z)£(Ker(f)xH) , y=u+z
jusque là c bon , mais aprés on cherche à mq z est indépendant du choix de y dans F pour celà on considère y,y' £ F tq g(x)=f(y)=f(y') et u,u' £ ker(f) , z,z' £ H tq : y=u+z ; y'=u'+z' on a alors z-z'=(y-y')+(u'-u) d'ou z-z' est somme de 2 élément de ker(f) donc z-z' £ ker(f) inter H soit z=z' .
on définit donc sans ambiguité : k:E-->F , x i-->z

je ne comprend pas 2 choses :

1) c'est quoi le rapport entre la phrase en noire et ce qu'on obtient à la fin ?
2) je ne comprend pas la déduction en rouge ! Pourquoi y-y' £ ker(f) ?

Merci de m'éclairer
-----

[invite57a1e779]

1) c'est quoi le rapport entre la phrase en noire et ce qu'on obtient à la fin ?

Tu pars d'un élément de , tu calcules . Tu détermines un antécédent de par .

Problème : il y en a plusieurs , , ,...

Tu décompose cet antécédents sur la somme directe , et tu conserves la composante sur .

Problème : chacun des antécédents trouvés a sa propre décomposition. On a , , ...

A qui sera égal : , , ,... ?

Tu dois donc prouver que , c'est-à-dire que est indépendant du choix de .

2) je ne comprend pas la déduction en rouge ! Pourquoi y-y' £ ker(f) ?

Tout simplement parce que !

[invitee4c99c8e]

Merci bcp . J'ai bien compris