Numération en base b

[invitea50480c6]

J'aurais besoin de savoir (pour un exercice de maths) le nombre de chiffres en numération décimale de 2^1000...Si quelqu'un aurait une idée?
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[Thorin]

Je t'envoie dans une direction, jte laisse finir :
log(100)=2=nombre_de_chiffres_ de_100 - 1

[invitea50480c6]

Je n'est pas trop compris pourquoi tu as utilisé le log... Et ce serai plutot log(1000)=3, non ?

[Thorin]

J'ai utilisé le logarithme décimal parce qu'on s'aperçoit très vite (empiriquement d'abord, mais ça se démontre facilement ensuite) qu'il y a un lien étroit entre le log d'un nombre et le nombre de chiffre du nombre.
100 n'était qu'un exemple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Il utilise le logarithme décimal parce que l'écriture décimale de l'entier non nul comporte chiffres si, et seulement si , c'est-à-dire .

[invitea50480c6]

On a donc: 300<1000*log(2)<400 donc e³⁰⁰<2¹⁰⁰⁰<e⁴⁰⁰ ... mais après comment peut on en déduire le nombre de chiffres de 2¹⁰⁰⁰...?

[Thorin]

Tu n'as pas bien encadré !

je note k le nombre de chiffres de 2^1000


donc


Ainsi, k-1 est la partie entière de 1000.log(2)=301,03...

[God's Breath]

En logartihme décimal : , donc et , d'où le nombre de chiffres de l'écriture décimale de 2.

Il n'est pas question de logarithme népérien, donc pas d'exponentielle de base e.

[invite173dee73]

Je n'est pas trop compris pourquoi tu as utilisé le log... Et ce serai plutot log(1000)=3, non ?

En effet en base 10
est décomposable en une somme + + .. + <
( avec 0 <= ai < 10 et an != 0) et (n= le nombre de chifre -1 , on note alors = an(n-1)..a1a0

or quelque soit les ai, on montre (facilement par récurrence) que
<= + + .. + <

donc <= <
on passe au log ensuite pour déterminer n

[invite173dee73]

Il utilise le logarithme décimal parce que l'écriture décimale de l'entier non nul comporte chiffres si, et seulement si , c'est-à-dire .

Il faut peut-être préciser qu'on parle ici de logarithme de base 10 :
log (x) = ln(x)/ln(10) avec ln = logarithme népérien de base e