Paradoxe de la numération.

[abracadabra75]

Bonjour à tous.
Je ne suis peut-être pas dans le bon forum: merci aux modérateurs de m'envoyer à ???? si c'est le cas...

Un mathématicien pourrait-il m'expliquer pourquoi dans une base donnée comportant n chiffres il en faut un n+1 ième n'appartenant pas à la base pour le désigner?

SI vous n'avez pas compris mon charabia, explication:

Base octale: chiffres {0,1.....,6,7}
soit 8 chiffres, et le 8 n' appartient pas à la base...

Ca me paraît paradoxal, et même à la limite incohérent: car s'il avait été impossible de créer ce 8ème chiffre, on n'aurait jamais pu désigner la base.

A+
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[invite4c1ed2fa]

je dirais a titre d'exemple, que si l'on considere la base octale, il n'y a pas 8 chiffres commes tu le dis, mais 10 chiffres ...
(10) en base8

[invité576543]

Bonjour,

Tentative de réponse, ma compréhension de la question est incertaine...

Il y aurait paradoxe si la seule manière disponible de désigner un nombre était son écriture positionnelle dans une base particulière.

Mais les nombres peuvent être représentés par une multitude de manières différentes, dont plein qui ne sont pas par écriture positionnelle.

Par exemple dix ou 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 réprésentent le même nombre, sans vraiment d'ambiguïté pour les lecteurs usuels de ce forum.

Par contre l'écriture 10, plus usuelle, est plus ambiguë (c'est le moins que l'on puisse dire) dès que l'on prend conscience que cette notation peut être interprétée dans différentes bases.

Est-ce cela, le paradoxe, le fait que l'écriture positionnelle est ambiguë et donc ne pourrait pas être utilisée comme seule et unique représentation des nombres?

Cordialement,

[azad]

Bonjour
Je pense qu'il ne faut pas raisonner avec des chiffres, mais avec des symboles. Ainsi en base 16, il y a seize symboles, et quand on a utilisé les 16 premiers,(0,...,9,A,...,F) on passe à " 16 puissance 1" soit 10 en écriture. Et 16 puissance 1...c' est la base; et le remplacer par un nouveau symbole nous conduirait à travailler en base 17. Beurk.
Bonne cogitation.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedebe236f]

on parle de base 10 (prononcer diz )
mais en fait il faudrais dire 1 et 0

en base 8 le 8 n existe pas on se sert du 8 de base 10
le vrai 8 est 10

base 2 le 2 n existe pas c est 10

etc

ca repond a ta question on se sert de la base 10 pour parler des autre base en aillant choisi un nom a 10 =dix
un nom a 16 seize (au lieu de dire 1 et 6)

[abracadabra75]

C'est azad et ses symboles qui colle le mieux à ce que je disais au début.
Reprenons dans une base plus courte que celles proposées

Soit l' ensemble des sigles {GA,BO,ZU,MEU}
pour donner directement le nombre de signes de ce domaine, il faudrait un nouveau sigle, pourquoi pas ZORGLUB pour dire qu'il y en a ZU+MEU qui évidement donne bien le nombre de sigles, mais en étant passé à la ????( je ne sais plus le nom) ZUMEUzaine supérieure. Et ZORGLUB n' appartient ni à l'ensemble, ni aux Shadoks bien sûr.

Et ma question reste en suspens....

A+

[invitedebe236f]

quelque soit la base on parle de base 10 en fait
apres ca depend le nom qu on donne a 10 dans notre base on a choisit dix
dans la base "16" on choisit seize pour lire 10

[invitedf667161]

C'est azad et ses symboles qui colle le mieux à ce que je disais au début.
Reprenons dans une base plus courte que celles proposées

Soit l' ensemble des sigles {GA,BO,ZU,MEU}
pour donner directement le nombre de signes de ce domaine, il faudrait un nouveau sigle, pourquoi pas ZORGLUB pour dire qu'il y en a ZU+MEU qui évidement donne bien le nombre de sigles, mais en étant passé à la ????( je ne sais plus le nom) ZUMEUzaine supérieure. Et ZORGLUB n' appartient ni à l'ensemble, ni aux Shadoks bien sûr.

Et ma question reste en suspens....

A+

Non, là tu te poses trop de questions : dans ta base de sigles, il y a 4 symboles, et donc tu peux compter en base quatre avec.

[invitefe3b6e75]

Bonsoir,

il me semble que c'est le plus pratique de définir une base avec le nombre de symboles qu'elle comporte (puisque le 0 compte) en utilisant notre système habituel comme référence... cela évite les ambiguités...

[azad]

Bonsoir
J'ai l'impression qu' on est en train de faire de la cabale, ou comme disent certains, de chercher des mouches à deux culs, (0 et 1), mais c'est amusant et je crois qu ' Abracadabra75 n' aura sa réponse que si une grosse pointure en philo ou en logique (Kant ?) venait à notre secours.
A plus

[invitebf65f07b]

ça n'a pas été mentionné (ou alors ça m'a échappé) mais il faut bien rappelé que les systèmes de numérotation dont on parle ici utilise la convention de la numérotation par position et que c'est cela qui permet de se limiter à n symboles pour exprimer tout les nombres en base n.
en cela, c'est bien sûr le symbole "10" (symbole composite certes mais symbole quand même) qui désigne le fameux n de la base.

pour reprendre l'exemple initiale, en base huit, le nombre "huit" s'écrit "10", c'est à dire "une fois huit". je ne vois là aucune incohérence, juste une affaire de convention.

[abracadabra75]

Merci Robert-et-ses-amis: explication claire et logique.
Donc quand on raisonne sur une base donnée, il ne faut surtout pas en sortir et mélanger les symboles de l'autre pour expliquer l'une.

[invite4c1ed2fa]

bah, c'est ce que je disais finallement ...
demonstration par l'exemple

[invite8e9bfb01]

bah, c'est ce que je disais finallement ...
demonstration par l'exemple

Pas forcément Mendoza...

Le principe de la numérotation, normalement, est une conséquence de la congruence modulo (donc de la division euclidienne); sachant que dans la division euclidienne d'un entier a quelconque par un entier n (avec n > 1) donnerait q , r comme quotient et reste respectivement; les restes r (possibles) de cette division appartiennent à l'intervalle [0 , n[ , c-à-d que r est compris entre 0 et (n-1).

N.B. : le nombre n, dans ce cas, sera le nombre de la base n ; et les restes r (possibles) constituent les chiffres (symboles) de cette base (il y a n chiffres ou symboles de 0 à n-1 et cette liste ne contient pas le nombre n).

J'espère que je ne me suis pas égaré de la réponse...

Cordialement

[invité576543]

Bonjour,

Ce fil montre un certains nombres des effets de la confusion entre des concepts (un nombre particulier, un cardinal) et ses représentations, c'est à dire l'utilisation de symboles pour le représenter, pour l'écrire, c'est à dire le communiquer.

La difficulté évidente du sujet est qu'il est difficule de parler de la représentation d'un concept sans nommer, donc représenter, le concept. Comme les notations positionnelles sont basées (!) sur de l'arithmétique, elles demandent pour être décrites de nommer des nombres particuliers, dont la base, d'où une circularité.

On la contourne simplement en revenant à des représentations plus "primitives" du concept comme le langage ou simplement l'exemple (ce qui demande bien, incidemment, de mélanger les représentations). Huit est par exemple le nombre de "a" dans "aaaaaaaa", aucun besoin de notation positionnelle pour communiquer le nombre par cette méthode. Et, à partir de cela, on construit un mode de représentation plus général.

Une conséquence simple est que écrire "la notation usuelle est en base 10" est une ânerie de première. Il faut écrire "la notation usuelle est en base dix" (notons que le langage parlé ne présente aucune ambiguité!). Par contre, écrire base 8 ou base 2 est tout à fait acceptable, et écrire que 9 se note 11 (prononcer un un, et non pas onze, évidemennt) en base 8 n'est en rien un mélange de notations positionnelles. Simplement parce que les symboles 2, 8 ou 9 existent indépendamment de toute notation positionnelle, et qu'il n'y a pas d'ambiguités sur les nombres que ces symboles communiquent.

Au passage, bien des remarques sur la notation positionnelle montrent une approche étroite au problème.

Par exemple, la base -2 est parfaitement licite (et la base n'est pas le nombre de symboles alors!). Par exemple, dans la notation positionnelle de base -2, poids fort en premier, le nombre vingt-sept se note 1101111. (Un aspect intéressant de cette base est qu'elle permet de noter les nombres négatifs sans signe supplémentaire. Par exemple 1100 représente l'opposé de quatre.)

On peut concevoir une notation positionnelle en base "mixte", dans laquelle le poids de chaque position n'est pas une progression géométrique, mais une progression plus compliquée. Exemple de poids successifs 1 2 6 12 36 72 216 ... Cent est alors noté 102020. Un exemple plus classique est la base mixte de poids successifs 1 60 3600 86400, d'usage très courant...

Un autre axe est la liste des symboles. hbenalia dit "les restes r (possibles) de cette division appartiennent à l'intervalle [0 , n[". Non, c'est une convention. On peut très bien prendre les restes dans un autre intervalle. En base 3, on peut prendre l'intervalle [-1,1]. On notant +1 "+", et -1, "-", le nombre quinze se représente +--0 (soit vingt-sept moins neuf moins trois).

Et il y évidemment des tas de représentations non positionnelles...

Alors, chercher à se poser des questions en se limitant aux notations positionnelles classiques, c'est un peu myope.

Le domaine de la représentation écrite (plus généralement symbolique) des nombres des très vaste et très riche, mais ne doit pas être confondu avec le concept de nombre. La représentation est un problème de langage, comment noter ou parler de nombres. Les nombres eux-mêmes, c'est autre chose.

Cordialement,

[invitedb5bdc8a]

Je me demande si la question d'abracadabra75 ne touche pas au fond à la théorie des ensembles version Peano ?
Sa question ne serait-elle pas:
si je dispose de 0, alors j'ai 1 élément. j'ai donc 'crée' 1.
Maintenant j'ai {0,1}. Ca me fait 2 éléments, j'ai 'crée' 2
etc...
Ce qui est bien un 'paradoxe' créateur de l'arithmétique. Le 'paradoxe' vient de 0 qui est à la fois rien et quelquechose (c'est 1 chiffre, 1 élément). Ce point a déjà été soulevé (assez maladroitement d'ailleurs) sur ce forum.
Il faut voir que 0 n'est pas 'naturel' (d'ailleurs l'humanité a mis du temps avant de le conceptualiser). Si on numérote à partir de 1, le paradoxe disparait, mais on ne dispose plus de l'écriture en chiffres ou notation positionnelle, qui nécessite le 0.

[invite4ad8cb70]

Bonjour,

comme le fait très justement remarquer "mmy", la question ne semble paradoxale que parce qu'il y a confusion entre un nombre et sa représentation. Un nombre n'a pas "besoin" d'être écrit pour exister. "8" est une des représentations du nombre "huit", "VIII" en est une autre "||||||||" (en égyptien antique ou babylonien) en est une autre, ...
Et aucune de ces représentations n'est nécessaire pour concevoir la quantité ou le nombre "huit"

Lorsque l'on parle de "base huit", on parle communément d'un mode de représentation positionnel strict où l'on dispose de huit symboles (0, ..., 7) et où un décalage vers la gauche d'un sybole signifie sa multiplication par huit. La représentation d'un nombre n'est pas le nombre, et le nombre lui "préexiste" aisément. Il y a des nombres que personne n'a jamais écrits, cela ne les empêche pas "d'exister" pour autant.

De même, comme l'a fait remarquer "cricri", toute base, si on veut l'écrire en notation positionelle avec des chiffres "arabes" est une base "10", sauf que cette notation "10" ne représente pas le même nombre d'une base à l'autre; en base huit, "10" est le nombre "huit" (une huitaine, zéro unités).

Lorsque l'on parle de "base 8", c'est par abus de langage et désir de simplification; la base dix étant notre "référence universelle" actuelle, nous dénomons toutes les autres en utilisant la représentation en base dix du nombre de référence pour la base. Plus clairement, lorsque l'on écrit "base 8" on veut en réalité dire "base du nombre qui s'écrit "8" en base dix".

Bon, j'arrête là.
Le point clé est qu'un nombre "existe" indépendament de sa représentation, ou même du nom qu'on lui donne. Les illusions de paradoxe surgissent quand on confond le nombre avec sa représentation ou que, par souci de brièveté, on utilise une contraption pour exprimer ce qui sinon prendrait de nombreux mots.

[invité576543]

Lorsque l'on parle de "base 8", c'est par abus de langage et désir de simplification; la base dix étant notre "référence universelle" actuelle, nous dénomons toutes les autres en utilisant la représentation en base dix du nombre de référence pour la base. Plus clairement, lorsque l'on écrit "base 8" on veut en réalité dire "base du nombre qui s'écrit "8" en base dix".

Bonsoir,

Juste pour une toute petite remarque, l'ensemble du texte étant parfaitement pertinent. Prendre la base 16 est plus clair comme exemple pour le paragraphe ci-dessus, parce que le symbole "8" est une représentation de huit par elle-même (la notion de positionnel ne commence qu'avec deux chiffres!). Ainsi dire que 8 s'écrit 22 en base 3 est, à mon avis, parfaitement légitime. Par contre, écrire "255 s'écrit FF en base 16" est un abus de langage caractérisé.

Ca devient, et c'est alors parfaitement clair :

Lorsque l'on parle de "base 16", c'est par abus de langage et désir de simplification; la base dix étant notre "référence universelle" actuelle, nous dénommons toutes les autres en utilisant la représentation en base dix du nombre de référence pour la base. Plus clairement, lorsque l'on écrit "base 16" on veut en réalité dire "base du nombre qui s'écrit "16" en base dix".

Cordialement,

[invite4ad8cb70]

Bonsoir,

Juste pour une toute petite remarque, [...] Prendre la base 16 est plus clair comme exemple pour le paragraphe ci-dessus, parce que le symbole "8" est une représentation de huit par elle-même [...]
Cordialement,

Ouiiiii.... et non.
Le symbole "8" n'existe et ne représente le nombre huit que parce que notre base (dix) est supérieure à huit. Si notre "base universelle de référence" était la base cinq au lieu de la base dix, huit s'écrirait "13" et on retomberait dans l'exemple que vous donnez, mmy.
Il y a donc toujours abus de langage au sens de confusion entre un nombre et sa représentation, mais c'est un abus de langage qui ne porte à aucune confusion car, quelle que soit la base dans laquelle le symbole "8" existe, il représente toujours le même nombre.

Ceci étant, je reconnais avec humilité qu'avec cette remarque je "pinaille" et je joue les puristes.