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Bases de numération



  1. #1
    JPL
    Responsable des forums

    Bases de numération


    ------

    Bonjour

    Dans un autre forum de Futura-Sciences on pouvait lire :

    Citation Envoyé par Kwaz1973
    Et quand bien même ces nombres auraient une infinité de décimales, ne serait-ce pas notre façon décimale de l'écrire (parce que l'on a dix doigts) qui le rendrait soit disant infini. Pi en base Pi s'écrit 1.
    Ce à quoi j'ai répondu :

    Citation Envoyé par JPL
    peut-on créer une nmération en base Pi ? Parce que tous les systèmes que je connais reposent sur une base entière (2, 8, 10, 12, 16) et, de ce fait, sont obligés de faire quelques acrobaties pour les valeurs non entières.
    La question est posée : peut-il y avoir des bases de numération non entières ? Qu'en disent les mathématiciens ?
    A la réflexion il y a quelque chose qui s'en rapproche : quand on exprime un angle en radians, l'unité est bien Pi... mais ce n'est pas exactement la même chose que la question initiale.

    Merci pour vos avis.

    -----
    Rien ne sert de penser, il faut réfléchir avant - Pierre Dac

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  3. #2
    Pierre de Québec

    Re : Bases de numération

    Bonjour,

    Je ne vois pas de problème en mathématique; si b est ma base, je suis toujours capable d'énumérer les puissances b0, b1, b2, b3, ..., bn qui serviront à écrire n'importe quel nombre dans les puissances de cette base. Toutefois, je ne trouve aucun aspect pratique à utiliser un irrationnel comme base.
    Aux limites du monde des faits, le philosophe a trouvé celui des idées. (Karl Jasper)

  4. #3
    Sylvestre

    Re : Bases de numération

    Bonjour,

    On peux bien sûr énumérer les puissances de b, mais alors que vont être les "chiffres" avec lesquels on écrira nos nombres en base b ? Si b=pi est-ce que les digits seront 0 , 1 , 2 et 3 ? en tout cas, si l'on fait cela, il est possible que des nombres aient plusieurs représentation dans cette base.

    Sylvestre

  5. #4
    Pierre de Québec

    Re : Bases de numération

    Re-bonjour,

    Hier soir juste avant le , j'ai pris conscience de ma bourde
    Je me suis souvenu alors de ce que mes fistons ont appris au primaire et sans aucun doute moi aussi ... mais la mémoire en vieillissant

    Tu as raison Sylvestre, les puissances de la base sont nécessaires mais pas suffisantes. Il faut aussi autant de symboles distincts que le nombre de la base l'indique; 0 inclus. Cela dit, le choix des symboles est un fait qui appartient à l'ensemble des nombres entiers naturels positifs (0 et 1 exclu, il me semble); je vois mal choisir un demi symbole (une base 3 1/2 par exemple) et encore moins une suite de symboles pour dénombrer la propriété d'un nombre irrationnel choisi comme base.

    Maintenant, je sais que dans le "monde" des fractals une dimension fractionnaire est chose possible et se défini à l'aide de l'exposant de Lyapunov. Peut-être existe t'il une analogie à faire avec les bases de numération ? Quoique j'en doute
    Aux limites du monde des faits, le philosophe a trouvé celui des idées. (Karl Jasper)

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Sylvestre

    Re : Bases de numération

    Salut,

    Ce que je connais de plus proche sont les base à pas variables.
    Ce sont des bases qui change selon la position des chiffres. Pour les définir, on doit dire combien il faut d'unités à une position donnée pour faire une unité de la position suivante. Ceci se fait en donnant une liste.

    Par exemple la base b=(1 2 3 4 5 6 ...)

    Dans cette base 1 est aussi le 1 de la base 10.
    0.1 est 0.5 de la base 10, car 0.1 * 2 = 1.
    0.01 est le tiers de 0.1, donc il s'agit de 1/6.
    0.001 est le quart de 0.01 donc il s'agit de 1/24.

    Dans cette base, le nombre e s'écrit 2,11111111....

    L'algorithme de conversion de la base b dans la base 10 donne d'ailleurs une bonne méthode pour calculer les décimales de e à la main.
    Il existe aussi une base à pas variable dans laquelle pi s'exprime facilement, mais il faut que je travaille un peu pour la retrouver. Cela donne aussi un moyen pour trouver les décimales de pi à la main.

    Sylvestre, qui espère ne pas avoir été trop confus

  8. #6
    invite73192618

    Re : Bases de numération

    Citation Envoyé par Sylvestre
    Sylvestre, qui espère ne pas avoir été trop confus
    Pas du tout! Cool la base b!! Est-ce que tous les irrationnels peuvent s'écrire simplement dans ce genre de base?

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  10. #7
    Pierre de Québec

    Re : Bases de numération

    Il me semble que Sylvestre parlais des rationnels.
    Aux limites du monde des faits, le philosophe a trouvé celui des idées. (Karl Jasper)

  11. #8
    invite73192618

    Re : Bases de numération


  12. #9
    Sylvestre

    Re : Bases de numération

    Je parlais d'irrationnels comme des rationnels. En fait, tous les réels s'expriment dans la base b. Il suffit que dans la suite qui définit b, tous les nombres soient plus grands que 1 pour que cela soit vrai.

  13. #10
    Sylvestre

    Re : Bases de numération

    J'ajoute que ce n'est pas parce que tous les réels peuvents être exprimer dans ces bases à pas variables que ces expressions sont simples. Toutefois, pour chaque réel particulier, il y a (je crois) une base dans laquelle son expression est simple.

  14. #11
    invite73192618

    Re : Bases de numération

    Reformulons: est-ce que les irrationnels (en base courante) peuvent toujours s'écrire comme des rationnels en utilisant des bases à pas variables?

    PS: croisement et requestion! Est-ce qu'il y a des regroupements des réels par famille, une famille étant l'ensemble des nombres s'écrivant simplement dans telle ou telle base?
    Dernière modification par Gamma ; 06/01/2005 à 14h53.

  15. #12
    Sylvestre

    Re : Bases de numération

    Je pense que oui, voici une façon de faire. Soit r un réel entre 0 et 1 pour faire simple.
    Je veux trouver une base à pas variable dans lequel il peut s'écrire 0.11111....

    Pour cela je commence par trouver b1 tel que 1/b1 <r<2/b1

    Comme cela, la base b commence par b1 et l'expression de r commence par 0.1...
    Ensuite, comme pour une autre base à pas constant, on soustrait 1/b1 à r et on multiplie ce qui reste par b1 . Appelons ce nouveau nombre r_2 .

    On peut alors appliquer la même construction à ce r2 pour continuer à mettre des 1 dans l'expression de r.

    Exemple :

    Je prends un r au hasard r=0.4378128...

    on a 1/3<r<2/3 donc on peut prendre b1=3

    ensuite r2 = 3*(r-1/3)=0.3134384

    comme 1/4<r2 <2/4 on prend b2 =4

    ensuite r3 =4*(r2 -1/4)=0.2537536

    comme 1/4<r3 <2/4 on prend b3 =4

    ensuite r4 =4*(r2 -1/4)=0.0150144

    comme 1/67<r4 <2/67 on prend b4 =67

    ensuite r5 =67*(r2 -1/67)=0.0059648

    etc..

    D'ailleurs pour voir que l'on obtient une approximation du nombre de départ, il suffit de convertir 0.1111 qui est en base (3 4 4 67) en base 10

    cela donne 1*1/3+1*1/(3*4)+1/(3*4*4)+1/(3*4*4*67)=0.43781...
    C'est proche du nombre de départ.

    Voilà, c'est cool les base à pas variables, tout les nombres entre 0 et 1 ont une expression de la forme 0.1111.. dans la bonne base.

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  17. #13
    martini_bird

    Re : Bases de numération

    Salut,

    je pense pour ma part que l'on peut recopier la même méthode que pour une base entière. Sur un exemple: soit 150 à écrire en base Pi.

    Je calcule logPi150=4, puis [ 150/Pi4 ]=1: c'est le premier chiffre de l'écriture1.
    On ôte Pi^4 à 150 et on calcule [ (150-Pi4)/Pi3 ]=1.
    Puis [ (150-Pi4-Pi3)/Pi^2 ]=2,
    [ (150-Pi4-Pi3-2Pi²)/Pi ]=0,
    [ (150-Pi4-Pi3-2Pi²) ]=1,
    [ (150-Pi4-Pi3-2Pi²-1).Pi ]=2, etc.

    Ainsi je peux écrire 150~Pi4+Pi3+2Pi²+1+Pi-1 où encore 150~Pi11201,2

    Jiusque là, je ne pense pas qu'il y ait de problème (les chiffres sont 0,1,2,3=[ Pi ]). D'ailleurs, je pense même qu'il y a unicité de l'écriture en base irrationnelle. Je ne vais pas plus loin pour l'instant, je vous laisse me corriger si j'ai dit une ânerie.

    Cordialement.

    1[x] est la partie entière de x.

  18. #14
    Sylvestre

    Re : Bases de numération

    Tu as raison, sauf sur le fait qu'il y a unicité.

    Par exemple, tu peux exprimer le nombre pi en base pi, au moins de deux manières différentes. La première en écrivant simplement 1*pi1 . Ainsi pi = 10 en base pi.

    Mais on peut aussi faire d'une autre manière, on procède comme tu l'as fait, mais en commençant par 3,...
    ensuite, pour trouver les "décimales" on fait comme toi :

    [(pi-3)/pi-1] = 0
    [(pi-3-0*pi-1)/pi-2 ]=1
    etc...

    Ainsi pi s'écrit aussi 3.01... en base pi. Et il y a une infinité d'autres manières.

  19. #15
    martini_bird

    Re : Bases de numération

    Citation Envoyé par Sylvestre
    Tu as raison, sauf sur le fait qu'il y a unicité.
    C'est juste, je m'étais emporté!

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