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[démonstration] Image d'une application linéaire surjective



  1. #1
    Guillaume69

    [démonstration] Image d'une application linéaire surjective


    ------

    Bonjour


    surjective

    Quelqu'un peut il me dire si ma démonstration est juste ?


    *
    *
    Soit
    surjective




    Soit

    surjective



    Une autre question : "est un espace vectoriel"
    Ceci veut dire que l'ensemble des applications linéaires E dans F stable pour la loi . et pour la loi + est un espace vectoriel ?

    Merci bien

    -----

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  3. #2
    Flyingsquirrel

    Re : [démonstration] Image d'une application linéaire surjective

    Salut

    Je suis d'accord pour la démonstration.
    Citation Envoyé par Guillaume69 Voir le message
    Une autre question : "est un espace vectoriel"
    Ceci veut dire que l'ensemble des applications linéaires E dans F stable pour la loi . et pour la loi + est un espace vectoriel ?
    Oui, sauf qu'on aurait plutôt tendance à le noter . La loi en deuxième position fait référence à la loi externe et celle en première position à la loi du groupe commutatif .

    Edit : "L'ensemble des applications linéaires de E dans F est un espace vectoriel pour les lois + (interne) et . (externe)." (on ne prend pas que les applications linéaires stables par ces lois, touts les applications de L(E,F) le sont).
    Dernière modification par Flyingsquirrel ; 22/04/2008 à 17h20.

  4. #3
    Guillaume69

    Re : [démonstration] Image d'une application linéaire surjective

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    (on ne prend pas que les applications linéaires stables par ces lois, touts les applications de L(E,F) le sont).
    Quand je disais stable (au singulier), je parlais de l'ensemble L(E,F), pas des applications.

    Mais tout compte fait, L(E,F) est toujours stable pour la loi + et la loi . non ? Dans ce cas, pourquoi écrire ces deux symboles ?

    (désolé si je suis pointilleux sur quelques détails, mais en maths j'aime bien avoir tout parfaitement compris ^^)

  5. #4
    Flyingsquirrel

    Re : [démonstration] Image d'une application linéaire surjective

    Citation Envoyé par Guillaume69 Voir le message
    Quand je disais stable (au singulier), je parlais de l'ensemble L(E,F), pas des applications.
    Effectivement
    Mais tout compte fait, L(E,F) est toujours stable pour la loi + et la loi . non ?
    Si "toujours" signifie "quelles que soient les lois", non. La loi notée "+" n'est pas forcément l'addition classique des fonctions. On peut très bien définir "l'addition" sur d'une manière tordue afin que la somme de deux applications linéaires ne soit plus linéaire.

  6. #5
    Guillaume69

    Re : [démonstration] Image d'une application linéaire surjective

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Si "toujours" signifie "quelles que soient les lois", non. La loi notée "+" n'est pas forcément l'addition classique des fonctions. On peut très bien définir "l'addition" sur d'une manière tordue afin que la somme de deux applications linéaires ne soit plus linéaire.
    Toujours signifiait "quels que soient les éléments de L(E,F)" (j'aurais dû être plus précis ^^), je ne savais pas qu'une loi pouvait être autre chose qu'une "addition classique".
    Comment peut-on définir une addition différemment ? J'arrive pas trop à concervoir ça

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Flyingsquirrel

    Re : [démonstration] Image d'une application linéaire surjective

    Citation Envoyé par Guillaume69 Voir le message
    Toujours signifiait "quels que soient les éléments de L(E,F)" (j'aurais dû être plus précis ^^),
    Dans ce cas je ne comprends plus la question. Quelle différence fais-tu entre "être stable" et "être toujours stable" ? La définition de la stabilité de par la loi notée "+" stipule déjà que pour tout pris dans , est encore dans .

    je ne savais pas qu'une loi pouvait être autre chose qu'une "addition classique".
    + et * ne sont que des notations qui permettent d'écrire simplement les choses mais elles n'imposent pas de condition aux lois qu'elles représentent. Par exemple, avec la notation multiplicative, est un groupe mais la loi de composition interne n'est pas la multiplication des fonctions, bien qu'elle soit notée *...

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  10. #7
    Guillaume69

    Re : [démonstration] Image d'une application linéaire surjective

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Dans ce cas je ne comprends plus la question. Quelle différence fais-tu entre "être stable" et "être toujours stable" ?
    Absolument aucune en fait "toujours" était un mot totalement superflu !

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    La définition de la stabilité de par la loi notée "+" stipule déjà que pour tout pris dans , est encore dans .
    C'est pour cela que je me questionnais quant à l'utilité d'écrire que est un espace vectoriel, sachant que en est déjà un.

  11. #8
    invite43219988

    Re : [démonstration] Image d'une application linéaire surjective

    n'est pas un espace vectoriel, c'est juste un ensemble.
    A toi de lui donner deux lois de manière à ce qu'il soit un espace vectoriel.
    En fait l'espace vectoriel, c'est le triplet : "(ensemble, loi interne, loi externe)" mais on allège souvent les notations en le notant seulement "ensemble" car on considère les lois "usuelles" sur cet ensemble (ce sont les lois les plus classiques en quelque sorte), il n'y a donc pas d'ambiguité.

  12. #9
    Guillaume69

    Re : [démonstration] Image d'une application linéaire surjective

    Merci à vous deux pour vos réponses

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