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Application surjective



  1. #1
    H.Poincaré

    Application surjective


    ------

    Bonjour à tous,

    Dans un cas général, une application f : E -> F est dite surjective si
    Im(f) = F.

    Mais quelle est la démonstration concrète pour prouver cette égalité ?
    Où quelles sont les autres possibilités pour prouver qu'une application est bijective si on sait déjà qu'elle est injective et que l'espace d'arrivée est de dimension finie ?

    J'espère que mes questions sont assez claires !
    Je tâcherai de les préciser si besoin,
    En vous remerciant d'avance,
    H.Poincaré

    -----

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  3. #2
    Médiat

    Re : Application surjective

    Citation Envoyé par H.Poincaré Voir le message
    Dans un cas général, une application f : E -> F est dite surjective si
    Im(f) = F.

    Mais quelle est la démonstration concrète pour prouver cette égalité ?
    Où quelles sont les autres possibilités pour prouver qu'une application est bijective si on sait déjà qu'elle est injective et que l'espace d'arrivée est de dimension finie ?
    J'ai mis en gras deux choses contradictoires, il faudrait donc que tu précises ta question : parles-tu de bijections ou d'isomorphismes ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    H.Poincaré

    Re : Application surjective

    Je parle d'isomorphisme d'espaces vectoriels

  5. #4
    Hamb

    Re : Application surjective

    J'imagine que tu parles d'applications linéaires, alors dans ce cas Im f est défini comme l'ensemble des éléments de F admettant un antécédent. Tu as donc déjà Im f qui est inclus dans F, après il est immédiat que la fonction est surjective lorsque Im f = F (tout élément de F appartient à Im f donc admet un antécédent)
    Ensuite, pour un espace de dimension finie et que ton application est injective, alors 2 cas :
    - soit les ensembles de départ et d'arrivée ont même cardinal et l'application est bijective
    - sinon elle n'est pas surjective.

  6. #5
    rhomuald

    Re : Application surjective

    Pour le cas d'une application quelconque

    C'est immédiat, en regardant la définition de .

    En effet

    dire que équivaut alors à dire que pour tout , il existe tel que , autrement dit est surjective.
    Dernière modification par rhomuald ; 27/01/2008 à 14h08.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Hamb

    Re : Application surjective

    faut oublier ce que j'ai dit dans l'autre post sur la dimension finie, dans un instant de folie j'ai lu tout simplement un espace vectoriel fini (ca existe ca d'ailleurs ou pas ?)

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  10. #7
    rhomuald

    Re : Application surjective

    Citation Envoyé par Hamb Voir le message
    faut oublier ce que j'ai dit dans l'autre post sur la dimension finie, dans un instant de folie j'ai lu tout simplement un espace vectoriel fini (ca existe ca d'ailleurs ou pas ?)
    oui ça existe, tu as qui est un corps si est premier à éléments,

    donc tu peux munir naturellement d'une structure de -espace vectoriel de dimension finie et qui a éléments.

  11. #8
    Hamb

    Re : Application surjective

    OK merci beaucoup pour cette précision ^^

  12. #9
    H.Poincaré

    Re : Application surjective

    Aie je me rends compte en relisant ce que j'ai écrit que je me suis très mal exprimé.

    Je reprends :

    Soit f: E -> F une application linéaire. On veut prouver que cette application est un isomorphisme d'espace vectoriel.
    On sait déjà que cette application est injective et que l'ensemble d'arrivée (F) est une espace vectoriel de dimension finie égal à 2.

    Ma question est : quelles sont les possibilités à partir de hypothèses pour montrer que f est aussi surjective ?

    Je sais par exemple qu'on peut montrer que Im(f) = F. Mais ma question est : comment procéder ?

    J'espère avoir été plus clair.

  13. #10
    rhomuald

    Re : Application surjective

    Citation Envoyé par H.Poincaré Voir le message
    Aie je me rends compte en relisant ce que j'ai écrit que je me suis très mal exprimé.

    Je reprends :

    Soit f: E -> F une application linéaire. On veut prouver que cette application est un isomorphisme d'espace vectoriel.
    On sait déjà que cette application est injective et que l'ensemble d'arrivée (F) est une espace vectoriel de dimension finie égal à 2.

    Ma question est : quelles sont les possibilités à partir de hypothèses pour montrer que f est aussi surjective ?

    Je sais par exemple qu'on peut montrer que Im(f) = F. Mais ma question est : comment procéder ?

    J'espère avoir été plus clair.
    E de dimension finie ou pas spécialement?

  14. #11
    rhomuald

    Re : Application surjective

    Sous ces hypothèse, c'est faux

    tu peux prendre qui est un sous-espace de de dimension 2 et f l'injection canonique .

    Cette application n'est pas surjective.

  15. #12
    Antho07

    Re : Application surjective

    Si c'est en dimension finie, utilise le theoreme du rang.
    ta f injective donc ker f= {0}.
    donc on en deduit quelque chose sur les dimensions.

    et on a evidemment .

    On peut conclure

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  17. #13
    Antho07

    Re : Application surjective

    il manque un argument a mon truc,

  18. #14
    H.Poincaré

    Re : Application surjective

    Le but de la question est de montrer que f est un isomorphisme de R-ev et d'en conclure que E est de même dimension que F.

    Je pensais que ne pas donner le détail de l'application f suffirait mais bon :

    f : E -> F est une application qui envoie toute suite (u) défini par une récurrence linéaire d'ordre 2 (u_n+2 = a*u_n+1 + b*u_n) sur (u_0,u_1) ...

    La question est : montrer que f est un isomorphisme de R-ev.
    Pour montrer que f est linéaire, pas de problème, pour montrer qu'elle est injective c'est aussi okay mais me reste la surjectivité ... peut-être la formule du rang comme quelqu'un l'a proposé ?

  19. #15
    rhomuald

    Re : Application surjective

    Citation Envoyé par H.Poincaré Voir le message
    Le but de la question est de montrer que f est un isomorphisme de R-ev et d'en conclure que E est de même dimension que F.

    Je pensais que ne pas donner le détail de l'application f suffirait mais bon :

    f : E -> F est une application qui envoie toute suite (u) défini par une récurrence linéaire d'ordre 2 (u_n+2 = a*u_n+1 + b*u_n) sur (u_0,u_1) ...

    La question est : montrer que f est un isomorphisme de R-ev.
    Pour montrer que f est linéaire, pas de problème, pour montrer qu'elle est injective c'est aussi okay mais me reste la surjectivité ... peut-être la formule du rang comme quelqu'un l'a proposé ?
    ben pour tout couple (x,y) de IR² tu prends la suite déifinie par

    , et pour et ona bien .

    D'où la surjectivité de .

  20. #16
    jobherzt

    Re : Application surjective

    Non, la formule du rang ca marche si tu connais deja les dimensions des espaces, or c'est ce que tu cherches apparemment. Ce qu'il faut c'est montrer que pour tout couple (x,y) il existe une suite definie par ton truc telle que u_0=x et u_1=y. Autrement dit, montrer que tout element de l'ensemble d'arrivée a au moins un antecedent.

  21. #17
    H.Poincaré

    Re : Application surjective

    Je crois que je me compliquais un peu trop la tâche ... Merci pour ces quelques éclaircissements !

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